2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：一次方程（1）

试卷更新日期：2023-07-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 将函数 $y = 2 x + 1$ 的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（）

A、 $y = 2 x - 1$ B、 $y = 2 x + 3$ C、 $y = 4 x - 3$ D、 $y = 4 x + 5$

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2. 一次函数 $y = k x - 1$ 的函数值y随x的增大而减小，当 $x = 2$ 时，y的值可以是（）

A、2 B、1 C、－1 D、－2

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3. 二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = x + b$ 的图象一定不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 在平面直角坐标系中，将正比例函数 $y = - 2 x$ 的图象向右平移3个单位长度得到一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象，则该一次函数的解析式为（）

A、 $y = - 2 x + 3$ B、 $y = - 2 x + 6$ C、 $y = - 2 x - 3$ D、 $y = - 2 x - 6$

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5. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = a x$ 和 $y = x + a (a$ 为常数， $a < 0)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（）

A、8：28 B、8：30 C、8：32 D、8：35

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7. 一种弹簧秤最大能称不超过 $10 k g$ 的物体，不挂物体时弹簧的长为 $12 c m$ ，每挂重 $1 k g$ 物体，弹簧伸长 $0.5 c m$ ．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度 $y (c m)$ 与所挂物体的质量 $x (k g)$ 之间的函数关系式为（）

A、 $y = 12 - 0.5 x$ B、 $y = 12 + 0.5 x$ C、 $y = 10 + 0.5 x$ D、 $y = 0.5 x$

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8. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积 $S = N + \frac{1}{2} L - 1$ ，其中 $N ， L$ 分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知 $A (0 ， 30)$ ， $B (20 ， 10) ， O (0 ， 0)$ ，则 $△ A B O$ 内部的格点个数是（）

A、266 B、270 C、271 D、285

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二、填空题

9. 已知反比例函数 $y = \frac{6 - 3 k}{x}$ （ $k > 1$ 且 $k \neq 2$ ）的图象与一次函数 $y = - 7 x + b$ 的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积 $x_{1} \cdot x_{2} > 0$ ，请写出一个满足条件的k值．

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10. 一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程 $y$ （千米）与行驶时间 $x$ （小时）之间的函数关系如图所示．当 $0 \leq x \leq 0.5$ 时， $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y = 60 x$ ；当 $0.5 \leq x \leq 2$ 时， $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为．

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11. 如图，点 $P$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上， $P A ⊥ x$ 轴于点 $A ， P B ⊥ y$ 轴于点 $B ， P A = P B$ ．一次函数 $y = x + 1$ 与 $P B$ 交于点 $D$ ，若 $D$ 为 $P B$ 的中点，则 $k$ 的值为．

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (- 1 ， - 2)$ 和点 $B (2 ， m)$ ，则 $△ A O B$ 的面积为．

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13. 在一次函数 $y = (k - 2) x + 3$ 中， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $k$ 的值可以是（任写一个符合条件的数即可）．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，直线l： $y = \sqrt{3} x - \sqrt{3}$ 与x轴交于点 $A_{1}$ ，以 $O A_{1}$ 为边作正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 点 $C_{1}$ 在y轴上，延长 $C_{1} B_{1}$ 交直线l于点 $A_{2}$ ，以 $C_{1} A_{2}$ 为边作正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} C_{1}$ ，点 $C_{2}$ 在y轴上，以同样的方式依次作正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} C_{2}$ ， …，正方形 $A_{2023} B_{2023} C_{2023} C_{2022}$ ，则点 $B_{2023}$ 的横坐标是．

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15. 如图，抛物线 $y = x^{2} - 6 x + 5$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点 $D (2 ， m)$ 在抛物线上，点E在直线 $B C$ 上，若 $∠ D E B = 2 ∠ D C B$ ，则点E的坐标是．

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点A在直线 $l_{1} ： y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上，顶点B在x轴上， $A B$ 垂直 $x$ 轴，且 $O B = 2 \sqrt{2}$ ，顶点 $C$ 在直线 $l_{2} ： y = \sqrt{3} x$ 上， $B C ⊥ l_{2}$ ；过点 $A$ 作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $C_{1}$ ，交x轴于 $B_{1}$ ，过点 $B_{1}$ 作 $A_{1} B_{1}$ 垂直x轴，交 $l_{1}$ 于点 $A_{1}$ ，连接 $A_{1} C_{1}$ ，得到第一个 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；过点 $A_{1}$ 作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $C_{2}$ ，交x轴于 $B_{2}$ ，过点 $B_{2}$ 作 $A_{2} B_{2}$ 垂直x轴，交 $l_{1}$ 于点 $A_{2}$ ，连接 $A_{2} C_{2}$ ，得到第二个 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；如此下去，……，则 $△ A_{2023} B_{2023} C_{2023}$ 的面积是．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上， $O A = O B = 4$ ，连接AB，过点O作 $O A_{1} ⊥ A B$ 于点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{1} ⊥ x$ 轴于点 $B_{1}$ ；过点 $B_{1}$ 作 $B_{1} A_{2} ⊥ A B$ 于点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{2} ⊥ x$ 轴于点 $B_{2}$ ；过点 $B_{2}$ 作 $B_{2} A_{3} ⊥ A B$ 于点 $A_{3}$ ，过点 $A_{3}$ 作 $A_{3} B_{3} ⊥ x$ 轴于点 $B_{3}$ ；…；按照如此规律操作下去，则点 $A_{2023}$ 的坐标为.

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三、计算题

18.

(1)、计算： $\sqrt[3]{8} + | - 5 | + (- 1)^{2023}$ ；

(2)、已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $(0 ， 1)$ 与点 $(2 ， 5)$ ，求该一次函数的表达式．

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四、综合题

19. 为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步．开始时男生跑了 $50 m$ ，女生跑了 $80 m$ ，然后男生女生都开始匀速跑步．已知男生的跑步速度为 $4.5 m / s$ ，当到达终点时男、女均停止跑步，男生从开始匀速跑步到停止跑步共用时 $100 s$ ．已知 $x$ 轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间， $y$ 轴代表跑过的路程，则：

(1)、男女跑步的总路程为．

(2)、当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．

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20. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 与一次函数 $y = - 2 x + m$ 的图象交于点 $A (- 1 ， 4)$ ， $B C ⊥ y$ 轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = - 2 x + m$ 的表达式；

(2)、当 $O D = 1$ 时，求线段 $B C$ 的长．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x + b (a < 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 交于 $A (- m ， 3 m)$ ， $B (4 ， - 3)$ 两点，与y轴交于点C，连接 $O A$ ， $O B$ ．

(1)、求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、请根据图象直接写出不等式 $\frac{k}{x} < a x + b$ 的解集．

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22. 定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

(1)、如图①，矩形 $A B C D$ 的顶点坐标分别是 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (- 1 ， - 1)$ ， $C (3 ， - 1)$ ， $D (3 ， 2)$ ，在点 $M_{1} (1 ， 1)$ ， $M_{2} (2 ， 2)$ ， $M_{3} (3 ， 3)$ 中，是矩形 $A B C D$ “梦之点”的是；

(2)、点 $G (2 ， 2)$ 是反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是，直线 $G H$ 的解析式是 $y_{2} =$ ．当 $y_{1} > y_{2}$ 时，x的取值范围是．

(3)、如图②，已知点A，B是抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{9}{2}$ 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接 $A C$ ， $A B$ ， $B C$ ，判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 1 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $D (3 ， 0)$ ，过点 $B$ 作直线 $l ⊥ x$ 轴，过点 $D$ 作 $D E ⊥ C D$ ，交直线 $l$ 于点 $E$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图，点 $P$ 为第三象限内抛物线上的点，连接 $C E$ 和 $B P$ 交于点 $Q$ ，当 $\frac{B Q}{P Q} = \frac{5}{7}$ 时．求点 $P$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，连接 $A C$ ，在直线 $B P$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $∠ D E F = ∠ A C D + ∠ B E D$ ？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (6 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 6)$ ．点D为线段 $B C$ 上的一动点．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图1，求 $△ A O D$ 周长的最小值；

(3)、如图2，过动点D作 $D P ∥ A C$ 交抛物线第一象限部分于点P，连接 $P A ， P B$ ，记 $△ P A D$ 与 $△ P B D$ 的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

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25. 在平面直角坐标系中，给出如下定义： $P$ 为图形 $M$ 上任意一点，如果点 $P$ 到直线 $E F$ 的距离等于图形 $M$ 上任意两点距离的最大值时，那么点 $P$ 称为直线 $E F$ 的“伴随点”．
例如：如图1，已知点 $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， 2)$ ， $P (2 ， 2)$ 在线段 $A B$ 上，则点 $P$ 是直线 $E F$ ： $x$ 轴的“伴随点”．

(1)、如图2，已知点 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $P$ 是线段 $A B$ 上一点，直线 $E F$ 过 $G (- 1 ， 0)$ ， $T (0 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ 两点，当点 $P$ 是直线 $E F$ 的“伴随点”时，求点 $P$ 的坐标；

(2)、如图3， $x$ 轴上方有一等边三角形 $A B C$ ， $B C ⊥ y$ 轴，顶点 $A$ 在 $y$ 轴上且在 $B C$ 上方， $O C = \sqrt{5}$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 上一点，且点 $P$ 是直线 $E F$ ： $x$ 轴的 $“$ 伴随点 $”$ ．当点 $P$ 到 $x$ 轴的距离最小时，求等边三角形 $A B C$ 的边长；

(3)、如图4，以 $A (1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $C (2 ， 1)$ 为顶点的正方形 $A B C D$ 上始终存在点 $P$ ，使得点 $P$ 是直线 $E F$ ： $y = - x + b$ 的 $“$ 伴随点 $”$ ．请直接写出 $b$ 的取值范围．

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26. 如图，直线 $y = - x + 4$ 交 $x$ 轴于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，对称轴为 $x = \frac{3}{2}$ 的抛物线经过 $B ， C$ 两点，交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ ． $P$ 为抛物线上一动点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于另一点 $M$ ，作 $x$ 轴的垂线 $P N$ ，垂足为 $N$ ，直线 $M N$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若 $0 < m < \frac{3}{2}$ ，当 $m$ 为何值时，四边形 $C D N P$ 是平行四边形？

(3)、若 $m < \frac{3}{2}$ ，设直线 $M N$ 交直线 $B C$ 于点 $E$ ，是否存在这样的 $m$ 值，使 $M N = 2 M E$ ？若存在，求出此时 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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27. 在平面直角坐标系 $x O y$ 内，抛物线 $y = - a x^{2} + 5 a x + 2 (a > 0)$ 交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．

(1)、求点C，D的坐标；

(2)、当 $a = \frac{1}{3}$ 时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线 $A D$ 上方抛物线上一点，将直线 $P D$ 沿直线 $A D$ 翻折，交x轴于点 $M (4 ， 0)$ ，求点P的坐标；

(3)、坐标平面内有两点 $E (\frac{1}{a} ， a + 1) ， F (5 ， a + 1)$ ，以线段 $E F$ 为边向上作正方形 $E F G H$ ．
①若 $a = 1$ ，求正方形 $E F G H$ 的边与抛物线的所有交点坐标；

②当正方形 $E F G H$ 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 $\frac{5}{2}$ 时，求a的值．

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28. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2 ， 0) ， B (6 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，连接 $B C$ ．

(1)、抛物线的解析式为；（直接写出结果）

(2)、在图1中，连接 $A C$ 并延长交 $B D$ 的延长线于点 $E$ ，求 $∠ C E B$ 的度数；

(3)、如图2，若动直线 $l$ 与抛物线交于 $M ， N$ 两点（直线 $l$ 与 $B C$ 不重合），连接 $C N ， B M$ ，直线 $C N$ 与 $B M$ 交于点 $P$ ．当 $M N ∥ B C$ 时，点 $P$ 的横坐标是否为定值，请说明理由．

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