2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：分式方程（2）

试卷更新日期：2023-07-22 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 将方程 $\frac{1}{x - 1} + 3 = \frac{3 x}{1 - x}$ 去分母，两边同乘 $(x - 1)$ 后的式子为（）

A、 $1 + 3 = 3 x (1 - x)$ B、 $1 + 3 (x - 1) = - 3 x$ C、 $x - 1 + 3 = - 3 x$ D、 $1 + 3 (x - 1) = 3 x$

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2. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（　　）

A、 $\frac{2640}{2 x} = \frac{2640}{x} + 2$ B、 $\frac{2640}{2 x} = \frac{2640}{x} - 2$ C、 $\frac{2640}{2 x} = \frac{2640}{x} + 2 \times 60$ D、 $\frac{2640}{2 x} = \frac{2640}{x} - 2 \times 60$

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3. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（）

A、 $\frac{1500}{x + 20} - \frac{800}{x} = 5$ B、 $\frac{1500}{x - 20} - \frac{800}{x} = 5$ C、 $\frac{800}{x} - \frac{1500}{x + 20} = 5$ D、 $\frac{800}{x} - \frac{1500}{x - 20} = 5$

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4. 甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（）

A、 $\frac{9}{x} - \frac{12}{x + 1} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{12}{x + 1} - \frac{9}{x} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{9}{x + 1} - \frac{12}{x} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{12}{x} - \frac{9}{x + 1} = \frac{1}{2}$

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5. 某校学生去距离学校 $12 k m$ 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 $20 m i n$ 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（）．

A、 $0.2 k m / m i n$ B、 $0.3 k m / m i n$ C、 $0.4 k m / m i n$ D、 $0.6 k m / m i n$

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6. 方程 $\frac{2}{x} = \frac{1}{x + 1}$ 的解为（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = 2$ C、 $x = - 4$ D、 $x = 4$

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7. 为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图， $y_{1} 、 y_{2}$ 分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用 $y$ （单位：元）与行驶路程 $S$ （单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为 $x$ 元，则可列方程为（　　）

A、 $\frac{25}{x} = \frac{10}{3 x - 0.1}$ B、 $\frac{25}{x} = \frac{10}{3 x + 0.1}$ C、 $\frac{25}{3 x + 0.1} = \frac{10}{x}$ D、 $\frac{25}{3 x - 0.1} = \frac{10}{x}$

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8. 分式方程 $\frac{x - 2}{x - 3} = \frac{2}{x - 3}$ 的解为（　　）

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{12000}{x} = \frac{11000}{x - 5} - 40$ B、 $\frac{12000}{x} - 40 = \frac{11000}{x + 5}$ C、 $\frac{12000}{x + 5} + 40 = \frac{11000}{x}$ D、 $\frac{11000}{x} + 40 = \frac{12000}{x - 5}$

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二、填空题

10. 方程 $\frac{3 x}{x + 1} = \frac{9}{x + 1}$ 的解是.

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11. 不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为 $0.6$ ，若袋中有4个白球，则袋中红球有个．

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12. 关于x的方程 $\frac{x + m}{x - 2} - 1 = \frac{x - 1}{2 - x}$ 的解为非负数，则m的取值范围是．

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13. 3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有人．

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三、计算题

14. 解方程 $\frac{2 x - 5}{x - 2} = \frac{3 x - 3}{x - 2} - 3$ .

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15. 解方程： $\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{x^{2} - 1}$ ．

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四、解答题

16. 甲、乙两名学生到离校 $2.4 k m$ 的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发 $30 m i n$ 后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．

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17. 为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了 $20 %$ ，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？

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18. 小丁和小迪分别解方程

\frac{x}{x - 2} - \frac{x - 3}{2 - x} = 1

过程如下：

小丁：

解：去分母，得 $x - (x - 3) = x - 2$

去括号，得 $x - x + 3 = x - 2$

合并同类项，得 $3 = x - 2$

解得 $x = 5$

∴原方程的解是 $x = 5$

小迪：

解：去分母，得 $x + (x - 3) = 1$

去括号得 $x + x - 3 = 1$

合并同类项得 $2 x - 3 = 1$

解得 $x = 2$

经检验， $x = 2$ 是方程的增根，原方程无解

你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程。

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五、综合题

19. 中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的 $\frac{3}{4}$ ，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．

(1)、求两种图书的单价分别为多少元？

(2)、为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？

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20. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．

(1)、甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？

(2)、该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？

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21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：

(1)、该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？

(2)、如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？

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