2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：一元二次方程（2）

试卷更新日期：2023-07-22 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 6$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 6$ C、 $x_{1} · x_{2} = \frac{7}{6}$ D、 $x_{1} · x_{2} = 7$

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2. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 a x + a^{2} - 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、没有实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、实数根的个数与实数 $a$ 的取值有关

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3. 对于实数a，b定义运算“⊗”为 $a \otimes b = b^{2} - a b$ ，例如 $3 \otimes 2 = 2^{2} - 3 \times 2 = - 2$ ，则关于x的方程 $(k - 3)$ $\otimes x = k - 1$ 的根的情况，下列说法正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定

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4. 2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（）

A、 $5.76 (1 + x)^{2} = 6.58$ B、 $5.76 (1 + x^{2}) = 6.58$ C、 $5.76 (1 + 2 x) = 6.58$ D、 $5.76 x^{2} = 6.58$

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5. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ ，配方后得到的方程是（）

A、 ${(x + 6)}^{2} = 28$ B、 ${(x - 6)}^{2} = 28$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 1$

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6. 下列说法错误的是（）

A、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件 B、一元二次方程 $x^{2} + x + 3 = 0$ 有两个相等的实数根 C、任意多边形的外角和等于 $360 °$ D、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心

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7. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数，点 $P (a ， c)$ 在第四象限，则关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判定

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8. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A、 $m < \frac{3}{2}$ B、 $m > 3$ C、 $m \leq 3$ D、 $m < 3$

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9. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 8 x + m = 0$ 两根为 $x_{1} 、 x_{2}$ ，且 $x_{1} = 3 x_{2}$ ，则m的值为（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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10. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 10 x + m = 0$ 的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $2 \sqrt{14}$

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11. 抛物线 $y = - x^{2} + k x + k - \frac{5}{4}$ 与x轴的一个交点为 $A (m ， 0)$ ，若 $- 2 \leq m \leq 1$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{21}{4} \leq k \leq 1$ B、 $k \leq$ $- \frac{21}{4}$ 或 $k \geq 1$ C、 $- 5 \leq k \leq$ $\frac{9}{8}$ D、 $k \leq - 5$ 或 $k \geq$ $\frac{9}{8}$

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二、填空题

12. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中 $A F = a$ ， $D F = b$ ，连接 $A E ， B E$ ，若 $△ A D E$ 与 $△ B E H$ 的面积相等，则 $\frac{b^{2}}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2}} =$ ．

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13. 已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，若 $x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} = 1$ ，则实数 $k =$ ．

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14. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺．

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15. 已知一元二次方程 $x^{2} + x = 5 x + 6$ 的两根为 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为.

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16. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 4 c = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $c =$ （写出一个满足条件的值）．

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17. 已知方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $(x_{1} + 2) \cdot (x_{2} + 2)$ 的值为．

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18. 若a、b是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $a + b - a b$ 的值为．

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19. 若关于x的方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m + 4 = 0$ 两根的倒数和为1，则m的值为．

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20. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + a = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围是.

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21. 定义：若x，y满足 $x^{2} = 4 y + t ， y^{2} = 4 x + t$ 且 $x \neq y$ （t为常数），则称点 $M (x ， y)$ 为“和谐点”．

(1)、若 $P (3 ， m)$ 是“和谐点”，则 $m =$ ．

(2)、若双曲线 $y = \frac{k}{x} (- 3 < x < - 1)$ 存在“和谐点”，则k的取值范围为．

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22. 若 $W = 5 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 2 y + 8 x + 3$ （ $x 、 y$ 为实数），则 $W$ 的最小值为.

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23. 如图是一块矩形菜地ABCD，AB=a（m），AD=b（m），面积为 $s (m^{2})$ .现将边AB增加1m.

(1)、如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是.

(2)、如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为 $2 s (m^{2})$ ，则s的值是.

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三、计算题

24.

(1)、解方程： $2 x^{2} + x - 2 = 0$

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} x + 3 > - 2 x \\ 2 x - 5 < 1 \end{array}$

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25. 设一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ ．在下面的四组条件中选择其中一组 $b ， c$ 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
① $b = 2 ， c = 1$ ；② $b = 3 ， c = 1$ ；③ $b = 3 ， c = - 1$ ；④ $b = 2 ， c = 2$ ．

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四、解答题

26. 为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求 $2020 - 2022$ 年买书资金的平均增长率．

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五、综合题

27. 加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中 $1000 m^{2}$ 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/ $m^{2}$ ）与其种植面积x（单位： $m^{2}$ ）的函数关系如图所示，其中 $200 \leq x \leq 700$ ；乙种蔬菜的种植成本为50元/ $m^{2}$ ．

(1)、当 $x =$ $m^{2}$ 时， $y = 35$ 元/ $m^{2}$ ；

(2)、设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？

(3)、学校计划今后每年在这 $1000 m^{2}$ 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降 $10 %$ ，乙种蔬菜种植成本平均每年下降 $a %$ ，当a为何值时，2025年的总种植成本为 $28920$ 元？

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28. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x - 3 m^{2} + m = 0$

(1)、求证：无论m为何值，方程总有实数根；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个实数根，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = - \frac{5}{2}$ ，求m的值．

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29. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有 $[a ， b] * [c ， d] = a c - b d$ ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如： $[3 ， 2] * [5 ， 1] = 3 \times 5 - 2 \times 1 = 13$ ．

(1)、求 $[- 4 ， 3] * [2 ， - 6]$ 的值；

(2)、已知关于x的方程 $[x ， 2 x - 1] * [m x + 1 ， m] = 0$ 有两个实数根，求m的取值范围．

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