广东省深圳市龙华区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. “琴棋书画”的棋是指围棋，围棋起源于中国，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $a > b$ ，下列不等式变形，不一定成立的是（）

A、 $a + 1 > b + 1$ B、 $a - 2 > b - 2$ C、 $- 2 a < - 2 b$ D、 $a c^{2} > b c^{2}$

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3. 下列分式中，是最简分式的是（）

A、 $\frac{x y}{x^{2}}$ B、 $\frac{3 x + 3}{3 x - 3}$ C、 $\frac{x + y}{x - y}$ D、 $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$

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4. 如图， $A$ ， $B$ 两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了 $A$ ， $B$ 间的距离：先在 $A B$ 外选一点 $C$ ，然后分别步测出 $A C$ ， $B C$ 的中点 $M$ ， $N$ ，并步测出 $M N$ 的长为3米，由此他就估测出 $A$ ， $B$ 间的距离为（）

A、3米 B、 $4.5$ 米 C、6米 D、9米

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5. 已知 $a + b = 5$ ， $a b = 6$ ，则多项式 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为（）

A、30 B、11 C、1 D、 $- 1$

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 50 °$ ，点 $D$ 在斜边 $A B$ 上．如果 $△ A B C$ 经过旋转后与 $△ E B D$ 重合，则 $∠ C B E$ 的大小是（）

A、 $90 °$ B、 $80 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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7. 如图，在等边 $△ A B C$ 的三边上分别取点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，使得 $A D = B E = C F$ ，若 $D E ⊥ B C$ ，则 $△ A B C$ 的周长是 $△ D E F$ 的周长的（）

A、2倍 B、3倍 C、 $\sqrt{3}$ 倍 D、 $2 \sqrt{3}$ 倍

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8. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $B D ⊥ A D$ ， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，则以下结论不正确的是（）

A、 $A D = 3$ B、 $O B = 2$ C、 $A C = 2 \sqrt{13}$ D、 $▱ A B C D$ 的面积为6

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9. 根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120米的盲道．由于情况改变，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果提前2天完成了这一任务，假设原计划每天修建盲道 $x$ 米，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{1120}{x} - \frac{1120}{x + 10} = 2$ B、 $\frac{1120}{x} - \frac{1120}{x - 10} = 2$ C、 $\frac{1120}{x + 10} - \frac{1120}{x} = 2$ D、 $\frac{1120}{x - 10} - \frac{1120}{x} = 2$

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10. 如图， $l_{1} ∥ l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 之间的距离为4，点 $A$ 是直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 外一点，点 $A$ 到直线 $l_{1}$ 的距离为2，点 $B$ ， $D$ 分别是直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 上的动点，以点 $B$ 为圆心， $A D$ 的长为半径作弧，再以点 $D$ 为圆心， $A B$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $C$ ，则点 $A$ 与点 $C$ 之间距离的最小值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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二、填空题

11. 分解因式： $a^{3} + 2 a^{2} + a =$ ．

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12. 由深圳到广州的一条铁路全程约为146千米，高铁全程运行时间为 $a$ 小时，则高铁的速度是每小时千米．

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13. 若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为.

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14. 一次函数 $y = k x + b$ 的图象如图所示，则不等式 $k x + b > 0$ 的解集为．

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15. 某校学生会组织七年级和八年级共30名同学参加环保志愿者活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶，为了保证所收集的塑料瓶总数不少于500个，则七年级学生参加活动的人数至多是名

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16. 我们把顶角为 $36 °$ 的等腰三角形称作“黄金三角形”，“黄金三角形”的底边长是腰长的 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 倍，如图， $△ A B C$ 是“黄金三角形”， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，则 $△ B C E$ 与 $△ A B E$ 的面积比为．

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17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D = 45 °$ ，将边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 后，点 $A$ 恰好落在边 $C D$ 上的点 $E$ 处，已知 $B C = 2$ ，则 $D E$ 的长度为．

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三、解答题

18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 1 < x + 1 \\ \frac{x - 4}{3} \leq x \end{array}$ 并把它的解集表示在数轴上．

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19. 先化简，再求值： $\frac{x - 3}{x^{2} - 9} \div \frac{x + 1}{2 x + 6} - \frac{1}{x + 1}$ ，其中 $x = 2$ ．

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20. 解方程： ${\begin{cases} 4 x \geq 2 x - 6 ， \\ \frac{2 + x}{3} < \frac{x + 1}{6} + 1 \end{cases}$ ．

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21. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标分别是 $(- 1 ， 0)$ ， $(0 ， 3)$ ， $(- 4 ， - 1)$ ，若 $△ A B C$ 经过一次平移后得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对应点分别为点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ ，已知点 $A^{'}$ 的坐标为 $(1 ， - 2)$ ．根据以上条件，请解决下列问题：

(1)、请画出平移后的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、 $A B^{'}$ $A C^{'}$ （填“ $>$ ”或“ $=$ ”或“ $<$ ”）；

(3)、在平移过程中，边 $B C$ 扫过的面积为

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22. 已知四边形 $A B C D$ 为平行四边形，点 $M$ ， $N$ 分别是直线 $A D$ ， $B C$ 上的点，且与点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 不重合．

(1)、请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：，使得点 $M$ ， $N$ 与 $▱ A B C D$ 的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由；

(2)、如图2，已知 $A C = B C = 6$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，若四边形 $A M C N$ 为平行四边形，且 $A M = 6$ ，则 $M C$ 的长度为

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23. 某服装店老板用4000元购进了一批甲款 $T$ 恤，用8800元购进了一批乙款 $T$ 恤，已知所购乙款 $T$ 恤数量是甲款 $T$ 恤数量的2倍，购进的乙款 $T$ 恤单价比甲款 $T$ 恤单价贵5元．

(1)、购进甲、乙两款 $T$ 恤的单价分别是多少元？

(2)、老板把这两种 $T$ 恤的标价都定为每件100元，甲款 $T$ 恤打九折销售，乙款 $T$ 恤按标价销售．经过一段时间的销售，老板发现，销售两种 $T$ 恤共100件时，利润不低于4200元．那么这段时间按标价销售的乙款 $T$ 恤至少要销售多少件？

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24. 【定义】对于没有公共点的两个图形 $M$ ， $N$ ，点 $P$ 是图形 $M$ 上任意一点，点 $Q$ 是图形 $N$ 上任意一点，把 $P$ 、 $Q$ 两点之间的距离的最小值称为图形 $M$ 与图形 $N$ 的距离，记为 $d [M ， N]$ ．

【理解】如图1，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，若点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(4 ， 3)$ ， $(- 4 ， 3)$ ，点 $G$ 是 $▱ A B C D$ 边上任意一点．

(1)、当点 $G$ 在边 $A D$ 上时， $O G$ 的最小值是，因此 $d$ [点 $O$ ，线段 $A D$ ]＝；

(2)、当点 $G$ 在任意边上时， $O G$ 的最小值是，因此 $d$ [点 $O$ ， $▱ A B C D$ ]＝；

(3)、【拓展】如图2，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(4 ， 3)$ ， $(- \frac{9}{4} ， 3)$ ，点 $E (a ， n)$ 是对角线 $A C$ 上与点 $A$ ， $C$ ， $O$ 不重合的一点，点 $F (b ， n)$ 是对角线 $B D$ 上与点 $B$ ， $D$ ， $O$ 不重合的一点．
当 $1 < d$ [线段 $E F$ ， $▱ A B C D$ ] $< 2$ 时，则 $n$ 的取值范围为；

(4)、当 $n > 0$ 时， $\frac{d [线段 E F ， ▱ A B C D]}{d [点 F ，线段 A D]} =$ （结果用含 $n$ 的式子表示）；

(5)、【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为 $0.5$ 米，请直接写出所需彩绳的长度．

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25. 【问题背景】如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $A B ⊥ D B$ ．将 $△ A B D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转至 $△ F B E$ ，记旋转角 $∠ A B F = α (0 ° < α \leq 180 °)$ ，当线段 $F B$ 与 $D B$ 不共线时，记 $△ A B E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ F B D$ 的面积为 $S_{2}$ ．

【特例分析】如图2，当 $E F$ 恰好过点 $A$ ，且点 $F$ ， $B$ ， $C$ 在同一条直线上时．

(1)、 $α =$ °；

(2)、若 $A D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $S_{1} =$ ， $S_{2} =$ ；

(3)、【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中， $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：
思路1：如图1，过点 $A$ ， $E$ 分别作直线平行于 $B E$ ， $A B$ ，两直线交于点 $M$ ，连接 $B M$ ，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题；
思路2：如图2，过点 $E$ 作 $E H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，过点 $D$ 作 $D G ⊥ F B$ ，交 $F B$ 的延长线于点 $G$ ，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；……
如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 之间的等量关系为，并说明理由．

(4)、【拓展应用】在旋转过程中，当 $S_{1} + S_{2}$ 为 $▱ A B C D$ 面积的 $\frac{1}{2}$ 时， $α$ 的值为

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