广东省深圳市罗湖区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列因式分解正确的是（）

A、 $x (x - 2) = x^{2} - 2 x$ B、 $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$ C、 $6 x^{2} y = 6 x \cdot x y$ D、 $x + 2 = x (1 + \frac{2}{x})$

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3. 将分式 $\frac{x}{x + y}$ 中的 $x$ ， $y$ 的值同时扩大2倍，则分式的值（）

A、扩大2倍 B、缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ C、保持不变 D、无法确定

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4. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到下图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高 $x (m)$ 的范围可表示为（）

A、 $x \geq 4.5$ B、 $x > 4.5$ C、 $x \leq 4.5$ D、 $0 < x \leq 4.5$

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5. 三条公路将三个A， $B$ ， $C$ 村庄连成一个三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）

A、三条高线的交点 B、三条中线的交点 C、三条角平分线的交点 D、三边垂直平分线的交点

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6. 直线 $l_{1} ： y_{1} = k_{1} x$ 与直线 $l_{2} ： y_{2} = k_{2} x + b$ 在同一平面直角坐标系中的位置关系如图所示，则关于 $x$ 的不等式 $k_{1} x > k_{2} x + b$ 的解集为（）

A、 $x > 2$ B、 $x < 2$ C、 $x > 3$ D、 $x < 3$

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7. 在课堂上，陈老师发给每人一张印有 $R t △ A B C$ （如图1）的卡片，然后要求同学们画一个 $R t △ A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}}$ ，使得 $R t △ A^{'} B^{'} C^{'} ≌ R t △ A B C$ ．小赵和小刘同学先画出了 $∠ M B^{'} N = 90 °$ 之后，后续画图的主要过程分别如图所示．

对这两种画法的描述中正确的是（）

A、小赵同学作图判定 $R t △ A^{'} B^{'} C^{'} ≌ R t △ A B C$ 的依据是 $H L$ B、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段 $B C$ 的长 C、小刘同学作图判定 $R t △ A^{'} B^{'} C^{'} ≌ R t △ A B C$ 的依据是 $A S A$ D、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段 $A C$ 的长

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8. 如图，设计一张折叠型方桌子，若 $A O = B O = 50 c m$ ， $C O = D O = 30 c m$ ，将桌子放平后，要使 $A B$ 距离地面 $C D$ 的高为 $40 c m$ ，则两条桌腿需要叉开的 $∠ A O B$ 为（）

A、 $90 °$ B、 $120 °$ C、 $135 °$ D、 $150 °$

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9. 下列命题是真命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $1 - 2 a > 1 - 2 b$ B、等腰三角形的角平分线、中线和高重合 C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D、一个正多边形的内角和为 $720 °$ ，则这个正多边形的一个外角等于 $60 °$

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10. 如图，在四边形纸片 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A B = D C = 4 \sqrt{3}$ ， $A D = 9$ ， $∠ B C D = 30 °$ ，点 $E$ 是线段 $D C$ 的中点，点 $F$ 在线段 $B C$ 上，将 $△ C E F$ 沿 $E F$ 所在的直线翻折得到 $△ C^{'} E F$ ，连接 $A C^{'}$ ，则 $A C^{'}$ 长度的最小值是（）

A、 $7 \sqrt{3}$ B、 $\frac{7}{2} \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $\frac{5}{2} \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 分解因式： $x^{2} - 2 x =$ .

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12. 要使分式 $\frac{1}{x - 2}$ 有意义， $x$ 的取值应满足．

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13. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．某工人师傅在铺地板时把四块完全相同的图案（图1）拼成一个如图所示的大图案（图2），经过测量， $A B = 60 c m$ ， $B C = 100 c m$ ， $A$ ， $C$ 两点间的距离为 $80 c m$ ，阴影部分的面积为 $c m^{2}$ ．

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14. 如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处 $1 m$ 宽的“曲径”，则“曲径”的面积为 $m^{2}$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，若 $C D = 3$ ， $B D = 5 \sqrt{2}$ ． $∠ B D C = 75 °$ ，则线段 $A D$ 的长为．

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三、解答题

16.

(1)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 1 > - x ① \\ \frac{1}{2} x < 3 ② \end{array}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

(2)、解方程： $\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{x - 1}{x - 2}$ ．

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17. 先化简，再求值： $\frac{x^{2}}{x + 1} - x + 1$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

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18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系， $△ A B C$ 的顶点都在格点上．

⑴将 $△ A B C$ 向右平移6个单位长度得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

⑵画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于点 $O$ 的中心对称图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

⑶若将 $△ A B C$ 绕某一点旋转可得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请直接写出旋转中心的坐标．

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19. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．

(1)、求证：四边形DEFB是平行四边形；

(2)、若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．

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20. “日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人．”深圳南山的荔枝以肉厚多汁深受大众的喜爱．某超市用2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米糍荔枝的千克数相同，已知每千克糯米糍荔枝价格比每千克桂味荔枝的价格多10元．

(1)、求桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格；

(2)、这两种荔枝销售很好，超市决定再进这两种荔枝共300千克，且糯米糍荔枝的数量不超过桂味荔枝数量的2倍，桂味荔枝以25元/千克销售，糯米糍荔枝以38元/千克销售，请问桂味、糯米糍荔枝各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？

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21. 【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若 $x - y > 0$ ，则 $x > y$ ；若 $x - y = 0$ ，则 $x = y$ ；若 $x - y < 0$ ，则 $x < y$ ．
例：已知 $M = a^{2} - a b$ ， $N = a b - b^{2}$ ，其中 $a \neq b$ ，求证： $M > N$

证明： $M - N = a^{2} - a b - a b + b^{2} = (a - b)^{2}$

$∵ a \neq b$

$∴ (a - b)^{2} > 0$ ，故 $M > N$

(1)、【新知理解】比较大小： $x - 3$ $2 + x$ ．（填“ $>$ ”，“＝”，“ $<$ ”）

(2)、【问题解决】甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（ $a$ 为正整数），其面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．请比较 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 的大小关系．

(3)、【拓展应用】请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折．请问游泳的学生选择哪种方案更合算？

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22. 如图

(1)、【探究发现】
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ． $A H ⊥ B C$ ，垂足为 $H$ ，点 $D$ 在 $A H$ 上，连接 $B D$ ， $C D$ ．则有下列命题：① $△ A B D ≅ △ A C D$ ；② $△ B D H ≅ △ C D H$ ，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程．

(2)、【类比迁移】
如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 45 °$ ，点 $D$ 在三角形的内部，过点 $D$ 作 $B D ⊥ C D$ ，且 $B D = C D$ ，连接 $A D$ ．求证： $A D = B D = C D$ ．

(3)、【拓展提升】
如图3．在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 45 °$ ， $B C = 5$ ，把线段 $A B$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转 $90 °$ 到 $A M$ ，把线段 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 到 $A N$ ，分别连接 $M B$ ， $N C$ ， $M N$ ，请直接写出 $△ A M N$ 面积的最大值．

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