上海市徐汇区2022-2023学年七年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-07-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列实数中，无理数是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $2 π$ C、 ${(\sqrt{3} - 1)}^{0}$ D、 $9^{\frac{1}{2}}$

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2. 月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在远地点时与地球相距约为405500千米，用科学记数法表示这个数（保留三个有效数字），那么下列表示正确的是（）

A、 $406 \times 1 0^{3}$ B、 $4.06 \times 1 0^{4}$ C、 $4.06 \times 1 0^{5}$ D、 $4.06 \times 1 0^{6}$

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3. 已知三角形的两边长分别是2和5，那么下列选项中可以作为此三角形第三边长的是（）

A、4 B、2 C、3 D、1

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4. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点P在第三象限内．且到x轴的距离为2，到y轴的距离为 $\sqrt{3}$ ，那么点P的坐标是（）

A、 $(2 ， \sqrt{3})$ B、 $(\sqrt{3} ， 2)$ C、 $(- 2 ， - \sqrt{3})$ D、 $(- \sqrt{3} ， - 2)$

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5. 下列判断正确的是（）

A、等腰三角形任意两角相等 B、等腰三角形底边上中线垂直底边 C、任意两个等腰三角形全等 D、等腰三角形三边上的中线都相等

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D在边 $A C$ 上，如果 $A D = B D = B C$ ，那么 $∠ A$ 的大小是（）

A、 $42 °$ B、 $40 °$ C、 $36 °$ D、 $30 °$

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二、填空题

7. $\sqrt{9}$ 的平方根是

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8. $1 6^{- \frac{1}{2}} =$ ．

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9. 比较大小： $- 2 \sqrt{5}$ $- 3 \sqrt{2}$ (填“ $>$ ”“ $<$ ”或“=”)．

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10. 如果在数轴上的点 $A$ 到原点的距离是 $\sqrt{5}$ ，那么表示点 $A$ 的实数是．

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11. 已知点 $P$ 是线段 $A B$ 上一点，过点 $P$ 作射线 $P C$ ，如果 $∠ A P C$ 比 $∠ B P C$ 大 $52 °$ ，那么 $∠ A P C$ 的度数是度．

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12. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ A = ∠ B = 30 °$ ，点 $D$ 是边 $A B$ 的中点，那么 $∠ A C D$ 的度数是度．

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13. 已知点 $M (\sqrt{2} ， - 3)$ ，那么它关于原点的对称点 $M^{'}$ 坐标为．

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14. 如果点 $P (x - 4 ， y + 1)$ 在第一象限，那么点 $Q (3 - x ， y + 2)$ 在第象限．

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15. 如图，直线 $A B$ 与直线 $D E$ 相交于点 $C$ ， $C F ⊥ D E$ ， $∠ A C D = 25 °$ ，那么 $∠ B C F$ 的度数是度．

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16. 如图，已知船 $C$ 在观测站 $A$ 的北偏东 $36 °$ 方向上，且在观测站 $B$ 的北偏西 $15 °$ 方向上，那么 $∠ A C B$ 的度数是．

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17. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ，点P是直线 $C D$ 上的点， $∠ A P B = 102 °$ ， $∠ B P D = 45 °$ ，那么 $∠ A$ 的度数是度．

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18. 如图，已知 $∠ O C B = ∠ O B C$ ，如果要说明 $△ A O B ≌ △ D O C$ ，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是．

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19. 如图，已知 $∠ A = 29 °$ ， $∠ B = 41 °$ ， $∠ C = 48 °$ ，那么 $∠ A O B$ 的度数是．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $M (2 ， - 2 \sqrt{3})$ ，那么将点M绕原点O逆时针旋转 $90 °$ 后与点N重合，那么点N的坐标是．

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三、解答题

21.

(1)、计算： $\sqrt{2} (3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) - {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}$ ．

(2)、利用分数指数幂的运算性质进行计算： $\sqrt[3]{16} \times \sqrt{8} \div \sqrt[6]{32}$ ．

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22. 如图，已知 $△ A B C$ ，根据下列要求作图并回答问题：

(1)、作边 $A B$ 上的高 $C D$ ；

(2)、过点D作直线 $B C$ 的垂线，垂足为E；

(3)、点B到直线 $C D$ 的距离是线段的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可）

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23. 在平面直角坐标系xOy中， $△ A B C$ 的位置如图所示．

(1)、写出点A、B、C的坐标：A ， B ， C；

(2)、画出 $△ A B C$ 关于y轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、连接 $B B_{1}$ 、 $A B_{1}$ ，求 $△ A B B_{1}$ 的面积．

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24. 如图，点D是等边 $△ A B C$ 中边 $A C$ 上的任意一点，且 $△ B D E$ 也是等边三角形，那么 $A E$ 与 $B C$ 平行吗？请说明理由．

解：因为 $△ A B C$ 是等边三角形（已知），
所以 $B C = B A$ （等边三角形各边相等），
      $∠ C = ∠ C A B = ∠ A B C = 60 °$ （等边三角形每个内角都是 $60 °$ ）；
因为 $△ B D E$ 是等边三角形（已知），
所以 $E B = D B$ （  ），
      $∠ E B D = 60 °$ （  ）；
所以 $∠ A B C = ∠ E B D$ （  ），
所以 $∠ A B C - ∠$        ▲   $= ∠ E B D -$        ▲  （等量减等量），
即∠       ▲  =∠       ▲  ；
在 $△ A B E$ 和 $△ C B D$ 中
      ${\begin{array}{l} B A = B C (已证) ， \\ ∠ ▲ = ∠ ▲ (已证) ， \\ E B = D B (已证) ， \end{array}$
所以 $△ A B E ≌ △ C B D$ （  ）．
所以 $∠ E A B = ∠$        ▲   $= 60 °$ （  ），
所以 $∠ E A B + ∠ B A C = 60 ° + 60 ° = 120 °$ ，
所以 $∠ E A C + ∠ C = 120 ° + 60 ° = 180 °$ ，
所以 $A E ∥ B C$ （  ）．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $B O 、 C O$ 分别平分 $A B C$ 和 $∠ A C B$ ，过点 $O$ 作 $D E ∥ B C$ ，分别交边 $A B 、 A C$ 于点 $D$ 和点 $E$ ，如果 $△ A B C$ 的周长等于14， $△ A D E$ 的周长等于9，求 $A C$ 的长．

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26. 已知：如图， $A D = B D$ ， $C D = E D$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，试说明 $∠ 3 = ∠ 1$ 的理由．
请按下列过程完成解答：

(1)、说明 $△ A D E$ 和 $△ B D C$ 全等的理由；

(2)、说明 $∠ 3 = ∠ 1$ 的理由．

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27. 问题：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $C A = C B$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B E ⊥ A D$ 于点E，说明 $A D = 2 B E$ 的理由．
分析：要说明“一条线段等于另一条线段的两倍”，我们容易想到“线段的中点”和“等腰三角形的三线合一”两个基本图形．
如图1，若点C是线段AB的中点，则 $A B = 2 A C = 2 B C$ ．
如图2，在 $△ A B C$ 中，若 $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D，则 $B C = 2 B D = 2 C D$ ．
要求：请根据上述分析完成上述问题的解答．

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