湖北省随州市曾都区2022-2023学年八年级下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-07-19 类型：期末考试

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1. 要使二次根式 $\sqrt{3 + x}$ 有意义， $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 3$ B、 $x \geq 3$ C、 $x > - 3$ D、 $x \geq - 3$

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2. 已知正比例函数 $y = (k - 1) x$ ，若 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 1$ B、 $k > 1$ C、 $k < 0$ D、 $k > 0$

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3. 如图，一竖直的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在地面离大树底端4米处，大树折断之前的高度为（）

A、7米 B、8米 C、9米 D、12米

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4. 下列二次根式中，化简后能与 $\sqrt{3}$ 进行合并的是（）

A、 $\sqrt{0.5}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{18}$

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5. 在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，下列条件不能判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $A B ∥ C D$ ， $A D = B C$ B、 $A B = D C$ ， $A D = B C$ C、 $O A = O C$ ， $O B = O D$ D、 $A B ∥ C D$ ， $A D ∥ B C$

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6. 小明所在班级10名同学的身高（単位：cm）数据如下：165，158，168，162，174，168，162，165，168，170．下列统计量中，能够描述这组数据离散程度的是（）

A、平均数 B、方差 C、众数 D、中位数

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7. 在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，下列结论一定正确的是（）

A、 $△ A O B$ 是等边三角形 B、 $A O = \frac{1}{2} B D$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $B D$ 平分 $∠ A B C$

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8. 关于函数 $y = - x + 1$ 的图象与性质，下列说法正确的是（）

A、函数图象经过第一、二、三象限 B、函数图象与 $y$ 轴交点坐标为 $(1 ， 0)$ C、图象是与 $y = - x - 1$ 平行的一条直线 D、当 $- 2 \leq x \leq 1$ 时，函数值 $y$ 有最小值3

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9. 在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为 $2 m$ （ $m \geq 3 m$ ， m为正整数），则其弦（结果用含 $m$ 的式子表示）是（）

A、 $4 m^{2} - 1$ B、 $4 m^{2} + 1$ C、 $m^{2} - 1$ D、 $m^{2} + 1$

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10. 甲、乙两辆汽车从 $A$ 地出发，均匀速向 $B$ 地行驶，当某辆汽车到达B地时，该汽车就停止行驶．甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距 $s (k m)$ ，甲行驶的时间为 $t (h) ， s$ 与 $t$ 的关系如图所示，下列结论：①甲车行驶的速度是 $60 k m / h$ ；②乙出发 $4 h$ 后追上甲；③A，B两地相距 $640 k m$ ；④甲比乙晚到 $\frac{5}{3} h$ ．其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每小题3分，共18分．把正确答案填在答题卡对应题号的横线上）

11. 化简： ${(\sqrt{2})}^{2} =$ ， $\sqrt{{(- 2)}^{2}} =$ ， ${(- \sqrt{2})}^{2} =$ ．

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 7 0^{∘}$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，则 $∠ C O E$ 的度数为．

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13. 已知 $x = \sqrt{5} + 3$ ，则代数式 $x^{2} - 6 x - 5$ 的值为．

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14. 4月23日是“世界读书日”．某中学为了了解八年级学生读书情况，随机调查了50名学生的读书数量，统计数据如表所示：

数量/册
0

1

2

3

4

人数

3

13

16

17

1

若将这50名学生读书册数的众数记为 $m$ ，中位数记为 $n$ ，则 $m^{n} =$ ．

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15. 如图，直线 $l_{1} ： y = x + n$ 与直线 $l_{2} ： y = k x + m$ 交于点 $P$ ，下列结论：① $k < 0$ ， $m > 0$ ；
②关于 $x$ 的方程 $x + n = k x + m$ 的解为 $x = 3$ ；③关于 $x$ 的不等式 $(k - 1) x < n - m$ 的解集为 $x < 3$ ；
④直线 $l_{1}$ 上有两点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ 时，则 $y_{1} < y_{2}$ ．其中正确结论的序号是．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E，F分别在边 $A D$ ， $C D$ 上，且 $A E = 2$ ， $D E = 4$ 将 $△ D E F$ 沿 $E F$ 翻折，使点 $D$ 落在正方形 $A B C D$ 内一点 $M$ ， $∠ A E M$ 的平分线交 $A B$ 于点 $H$ ，连接 $H M$ ，若 $H E = H B$ ，则 $∠ H E F$ 的度数为，点 $H$ 到直线 $M E$ 的距离为．

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数量/册	0	1	2	3	4
人数	3	13	16	17	1

三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出必要的演算步㻓、文字说明或证明过程）

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{45} - (\sqrt{20} - \sqrt{5})$ ；

(2)、 $\sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{24} \div (- 2 \sqrt{3})$ ．

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18. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 所对边长分别为 $a ， b ， c$ ．

(1)、若 $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $a = 24$ ， $c = 25$ ，求 $b$ ；

(2)、若 $a ， b ， c$ 三边满足 $| a - 5 | + {(b - 12)}^{2} + \sqrt{c - 13} = 0$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状．

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中 $(A B < B C)$ ．

(1)、在边AD上找一点E，连接BE，使得BE平分 $∠ A B C$ ．（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，在边BC上取一点F，使得 $B F = A E$ ，连接EF，请判断四边形 $A B F E$ 的形状，并说明理由．

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20. 观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，验证： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ；

第2个等式： $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ，验证： $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ；

第3个等式： $\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ ，验证： $\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}} ， ⋯$ ．

(1)、请写出第4个等式，并验证；

(2)、按照以上各等式反映的规律，猜想第 $n - 1$ 个 $(n$ 为正整数，且 $n \geq 2)$ 等式，并通过计算验证你的猜想．

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21. 五月份，教育部等七部门联合印发了《全面加强和改进新时代学生心理健康工作专项行动计划》．某校组织八年级学生开展了一次心理健康知识竞赛，现从中随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（百分制），进行整理、描述和分析，成绩得分用 $x$ 表示（ $x$ 为整数），共分成四组：A． $80 \leq x < 85$ ；B． $85 \leq x < 90$ ；C． $90 \leq x < 95$ ；D． $95 \leq x \leq 100$ ．
10名男生的成绩在 $C$ 组中的数据是：90，92，94．

10名女生的成绩是：96，83，96，88，99，96，90，100，89，83．

抽取的10名男生成绩扇形统计图

抽取的男、女生各10名成绩统计表

性别平均数中位数众数方差

男生 92 a 99 34.1 34.1

女生 92 93 b 35.2 35.2

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、直接写出图表中 $m ， a ， b$ 的值： $m =$ ， $a =$ ， $b =$ ；

(2)、你认为在此次竞赛中，是男生的成绩更好些，还是女生的成绩更好些？请说明理由（写出一条即可）．

(3)、若该校八年级共有600人，其中男生占 $45 %$ ，试估计八年级学生中，成绩在90分（不含90分）以上的男生有多少人？

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22. 已知正方形 $A B C D$ ， $E$ 为对角线 $B D$ 上一点．

(1)、如图1，连接 $A E$ ， $C E$ ，求证： $△ A D E ≅ △ C D E$ ；

(2)、如图2，F是 $A E$ 延长线上一点， $C F ⊥ C E$ ， $E F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，判断 $△ C F G$ 的形状，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下，若 $A B = 3$ ， $C G = 2 D G$ ，连接 $D F$ ，直接写出 $D F$ 的长为．

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23. 某商场计划购进甲、乙两种商品共80件进行销售，已知甲种商品的进价为120元/件，乙种商品的进价为80元/件，甲种商品的销售单价为150元/件，乙种商品的销售单价 $y$ （元/件）与购进乙种商品的数量 $x$ （件）之间的函数关系如图所示．

(1)、求 $y$ （元/件）关于 $x$ （件）的函数关系式（不要求写出自变量 $x$ 的取值范围）；

(2)、当购进乙种商品30件时，求销售完80件甲、乙两种商品获得的总利润；

(3)、实际经营时，因原材料价格上张，甲、乙两种商品的进价均提高了 $10 %$ ，为保证销售完后总利润不变，商场决定将这两种商品的销售单价均提高 $m$ 元，且 $m$ 不超过乙种商品原销售单价的 $9 %$ ，求 $m$ 的最大值．

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24. 已知矩形 $O A B C$ 的边 $O A$ ， $O C$ 在坐标轴上，点 $B (4 ， 3)$ ，直线 $y = 2 x - 3$ 分别交线段 $A B$ 及 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $D ， E ， F$ ．

(1)、直接写出点D，E，F的坐标；

(2)、如图1， $P$ 为线段DF（不包括端点）上一动点，连接 $A P$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ， $△ A D P$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式，并写出自变量 $t$ 的取值范围；

(3)、如图2， $M$ 是线段 $B C$ 上一动点，点 $N$ 在第一象限，且在直线 $y = 2 x - 3$ 上，若 $△ A M N$ 是以 $M N$ 为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点 $N$ 的坐标．

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	性别	平均数	中位数	众数	方差
男生	92	a	99	34.1	34.1
女生	92	93	b	35.2	35.2