2023年高考数学真题分类汇编5：三角函数

试卷更新日期：2023-07-18 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A C = 60 ° ， B C = \sqrt{6}$ ， D为BC上一点，AD为 $∠ B A C$ 的平分线，则 $A D =$ ．

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2. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 6 0^{∘}$ ， $B C = 1$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，点 $E$ 为 $C D$ 的中点，若设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E}$ 可用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示为；若 $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最大值为．

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3. 若 $θ \in (0 ， \frac{π}{2}) ， t a n θ = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n θ - c o s θ =$ ．

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4. 已知 $t a n α = 3$ ，求 $t a n 2 α =$ ；

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5. 在 $△ A B C$ 中， $a = 4 ， b = 5 ， c = 6$ ，求 $s i n A =$ ；

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6. 已知函数 $f （ x ） = s i n （ ω x + φ ）$ ，如图A，B是直线 $y = \frac{1}{2}$ 与曲线 $y = f （ x ）$ 的两个交点，若 $| A B | = \frac{π}{6}$ ，则 $f （π） =$ .

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7. 已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.

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二、选择题

8. 函数 $y = f (x)$ 的图象由 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到，则 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知 $f (x)$ 为函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位所得函数，则 $y = f (x)$ 与 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. “ $s i n^{2} α + s i n^{2} β = 1$ ”是“ $s i n α + c o s β = 0$ ”的（）

A、充分条件但不是必要条件 B、必要条件但不是充分条件 C、充要条件 D、既不是充分条件也不是必要条件

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11. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = 4 ， P C = P D = 3 ， ∠ P C A = 45 °$ ，则 $△ P B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点， $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则 $| P O | =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{35}}{2}$

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13. 已知函数 $f (x)$ 的一条对称轴为直线 $x = 2$ ，一个周期为4，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $s i n (\frac{π}{2} x)$ B、 $c o s (\frac{π}{2} x)$ C、 $s i n (\frac{π}{4} x)$ D、 $c o s (\frac{π}{4} x)$

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $\frac{2 π}{3}$ ，集合 $S = {c o s a_{n} | n \in N^{*}}$ ，若 $S = {a ， b}$ ，则 $a b =$ （）

A、－1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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15. 已知 $⊙ O$ 的半径为1，直线PA与 $⊙ O$ 相切于点A，直线PB与 $⊙ O$ 交于B，C两点，D为BC的中点，若 $| P O | = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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16. 已知 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，AB为斜边， $△ A B D$ 为等边三角形，若二面角 $C - A B - D$ 为 $150 °$ ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，若 $a c o s B - b c o s A = c$ ，且 $C = \frac{π}{5}$ ，则 $∠ B =$ （）

A、 $\frac{π}{10}$ B、 $\frac{π}{5}$ C、 $\frac{3 π}{10}$ D、 $\frac{2 π}{5}$

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3})$ 单调递增，直线 $x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{2 π}{3}$ 为函数 $y = f (x)$ 的图像的两条对称轴，则 $f (- \frac{5 π}{12}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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19. 设 $a > 0$ ，函数 $y = s i n x$ 在区间 $[a ， 2 a]$ 上的最小值为 $s_{a}$ ，在 $[2 a ， 3 a]$ 上的最小值为 $t_{a}$ ，当 $a$ 变化时，以下不可能的情形是（）.

A、 $s_{a} > 0$ 且 $t_{a} > 0$ B、 $s_{a} < 0$ 且 $t_{a} < 0$ C、 $s_{a} > 0$ 且 $t_{a} < 0$ D、 $s_{a} < 0$ 且 $t_{a} > 0$

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20. 已知 $α$ 为锐角， $c o s α = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} ，$ 则 $s i n \frac{α}{2} =$ （）

A、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{8}$ B、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{8}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}$

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21. 过点(0，−2)与圆x²+y²−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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22. 已知 $s i n (α - β) = \frac{1}{3} ， c o s α s i n β = \frac{1}{6}$ ，则 $c o s (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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三、解答题

23. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{c o s A} = 2$ ．

(1)、求 $b c$ ；

(2)、若 $\frac{a c o s B - b c o s A}{a c o s B + b c o s A} - \frac{b}{c} = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积．

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24. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分別是 $a ， b ， c$ ．已知 $a = \sqrt{39} ， b = 2 ， ∠ A = 12 0^{∘}$ ．

(1)、求 $s i n B$ 的值；

(2)、求 $c$ 的值；

(3)、求 $s i n (B - C)$ ．

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25. 在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 1$ .

(1)、求 $s i n ∠ A B C$ ；

(2)、若D为BC上一点，且 $∠ B A D = 90 °$ ，求 $△ A D C$ 的面积.

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26. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 $\sqrt{3} ，$ D为BC的中点，且AD=1.

(1)、若 $∠ A D C = \frac{π}{3} ，$ 求tanB；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = 8$ ，求b，c.

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27. 已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=sinB.

(1)、求sinA；

(2)、设AB=5，求AB边上的高.

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