2023年高考数学真题分类汇编3：数列、平面向量

试卷更新日期：2023-07-17 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $8 S_{6} = 7 S_{3}$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比为．

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2. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 6 0^{∘}$ ， $B C = 1$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，点 $E$ 为 $C D$ 的中点，若设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E}$ 可用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示为；若 $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最大值为．

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3. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{2} a_{4} a_{5} = a_{3} a_{6}$ ， $a_{9} a_{10} = - 8$ ，则 $a_{7} =$ .

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4. 已知 $\vec{a} = (- 2 ， 3) ， \vec{b} = (1 ， 2)$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ；

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5. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 3 ， q = 2$ ，求 $s_{6} =$ ；

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6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3} ， | \vec{a} + \vec{b} | = | 2 \vec{a} - \vec{b} | ，则 | \vec{b} | =$

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二、选择题

7. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 前n项和， $S_{5} = 5 S_{3} - 4$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、7 B、9 C、15 D、30

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8. 向量 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1 ， | \vec{c} | = \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $c o s 〈 \vec{a} - \vec{c} ， \vec{b} - \vec{c} 〉 =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1) ， \vec{b} = (2 ， 2)$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{1}{17}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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10. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{2} + a_{6} = 10 ， a_{4} a_{8} = 45$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、25 B、22 C、20 D、15

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点， $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则 $| P O | =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{35}}{2}$

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12. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、3 B、18 C、54 D、152

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13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $\frac{2 π}{3}$ ，集合 $S = {c o s a_{n} | n \in N^{*}}$ ，若 $S = {a ， b}$ ，则 $a b =$ （）

A、－1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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14. 已知 $⊙ O$ 的半径为1，直线PA与 $⊙ O$ 相切于点A，直线PB与 $⊙ O$ 交于B，C两点，D为BC的中点，若 $| P O | = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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15. 正方形 $A B C D$ 的边长是2， $E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\vec{E C} \cdot \vec{E D} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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16. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{4} = - 5 ， S_{6} = 21 S_{2} ，$ 则 $S_{8} =$ （）

A、120 B、85 C、-85 D、 $-$ 120

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17. 记S_n为数列{a_n}的前n项和，设甲：{a_n}为等差数列；乙： ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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18. 已知向量a=(1，1)，b=(1，−1).若(a+λb)⊥(a+µb)，则（）

A、λ+µ=1 B、λ+µ=−1 C、λµ=1 D、λµ=−1

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三、解答题

19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 1$ ，设 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 前n项和， $2 S_{n} = n a_{n}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n} + 1}{2^{n}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{2} + a_{5} = 16 ， a_{5} - a_{3} = 4$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式和 $\sum_{i = 2^{n - 1}}^{2^{n} - 1} a_{i}$ ．

(2)、已知 ${b_{n}}$ 为等比数列，对于任意 $k \in N^{*}$ ，若 $2^{k - 1} \leq n \leq 2^{k} - 1$ ，则 $b_{k} < a_{n} < b_{k + 1}$ ，
（Ⅰ）当 $k \geq 2$ 时，求证： $2^{k} - 1 < b_{k} < 2^{k} + 1$ ；

（Ⅱ）求 ${b_{n}}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和．

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21. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， $B P ， A P ， B C$ 的中点分别为 $D ， E ， O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上， $B F ⊥ A O$ ．

(1)、求证： $E F$ //平面 $A D O$ ；

(2)、若 $∠ P O F = 120 °$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积。

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22. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{2} = 11 ， S_{10} = 40$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${| a_{n} |}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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23. 已知 $f (x) = l n x$ ，取点 $(a_{1} f (a_{1}))$ 过其曲线 $y = f (x)$ 作切线交 $y$ 轴于 $(0 ， a_{2})$ ，取点 $(a_{2} f (a_{2}))$ 过其曲线 $y = f (x)$ 作切线交 $y$ 轴于 $(0 ， a_{3})$ ，若 $a_{3} > 0$ 则继续，若 $a_{3} \leq 0$ 则停止，以此类推得到数列 ${a_{n}}$ .

(1)、若正整数 $m \geq 2$ ，证明 $a_{m} = l n a_{m - 1} - 1$ ；

(2)、若正整数 $m \geq 2$ ，试比较 $a_{m}$ 与 $a_{m - 1} - 2$ 大小；

(3)、若正整数 $k \geq 3$ ，是否存在 $k$ 使得 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ⋯ a_{k}$ 依次成等差数列?若存在，求出 $k$ 的所有取值，若不存在，请说明理由.

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24. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $b_{n} = {\begin{cases} a_{n} - 6 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n} ， n 为偶数 \end{cases}$ ，记 $S_{n}$ ， $T_{n}$ 为 ${a_{n}}$ ${b_{n}}$ 的前n项和， $S_{4} = 32$ ， $T_{3} = 16$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、证明：当n>5时， $T_{n}$ > $S_{n}$ .

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25. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，且 $d > 1$ ，令 $b_{n} = \frac{n^{2} + n}{a_{n}}$ ，记 $S_{n} ， T_{n}$ 分别为数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、若 $3 a_{2} = 3 a_{1} + a_{3} ， S_{3} + T_{3} = 21$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${b_{n}}$ 为等差数列，且 $S_{99} - T_{99} = 99$ ，求 $d$ .

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26. 甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.

(1)、求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)、求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)、已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i} ， i =$ $1 ， 2 ， ⋯ ， n$ ，则 $E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} q_{i}$ ，记前 $n$ 次 (即从第1次到第 $n$ 次投篮)中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E (Y)$ .

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