内蒙古通辽市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-17 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $2023$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2023}$ B、 $- 2023$ C、 $2023$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 在英语单词 $p o l y n o m i a l$ （多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“ $n$ ”的概率是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{5}$

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3. 如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式 $S = a h$ 时，若 $△ A B E$ 平移到 $△ D C F$ ， $a = 4$ ， $h = 3$ ，则 $△ A B E$ 的平移距离为（）

A、3 B、4 C、5 D、12

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4. 在平面直角坐标系中，一次函数 $y = 2 x - 3$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 二次根式 $\sqrt{1 - x}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图像上，且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $y_{1} + y_{2} < 0$ B、 $y_{1} + y_{2} > 0$ C、 $y_{1} - y_{2} < 0$ D、 $y_{1} - y_{2} > 0$

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7. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转到 $△ A D E$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，点B的对应点D恰好落在 $B C$ 边上，若 $D E ⊥ A C ， ∠ C A D = 24 °$ ，则旋转角 $α$ 的度数为（）

A、 $24 °$ B、 $28 °$ C、 $48 °$ D、 $66 °$

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8. 下列命题：
① $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$ ；

② $- π > - 3.14$ ；

③圆周角等于圆心角的一半；

④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；

⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．

其中真命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 如图，在扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 60 °$ ， $O D$ 平分 $∠ A O B$ 交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点D，点C是半径 $O B$ 上一动点，若 $O A = 1$ ，则阴影部分周长的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} + \frac{π}{6}$ B、 $\sqrt{2} + \frac{π}{3}$ C、 $2 \sqrt{2} + \frac{π}{6}$ D、 $2 \sqrt{2} + \frac{π}{3}$

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10. 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：

已知：如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

求作： $R t △ A B C$ 的外接圆．

作法：如图2．

（1）分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；

（2）作直线 $P Q$ ，交 $A B$ 于点O；

（3）以O为圆心， $O A$ 为半径作 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 即为所求作的圆．

下列不属于该尺规作图依据的是（）

A、两点确定一条直线 B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

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11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $P (0 ， 1)$ ，点 $A (4 ， 1)$ ，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转 $60 °$ 得到点B，在 $M_{1} (- 1 ， - \sqrt{3})$ ， $M_{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0)$ ， $M_{3} (1 ， \sqrt{3} - 1)$ ， $M_{4} (2 ， 2 \sqrt{3})$ 四个点中，直线 $P B$ 经过的点是（）

A、 $M_{1}$ B、 $M_{2}$ C、 $M_{3}$ D、 $M_{4}$

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $(x_{1} ， 0) ， (2 ， 0)$ ，其中 $0 < x_{1} < 1$ ，下列四个结论：① $a b c < 0$ ；② $a + b + c > 0$ ；③ $2 b + 3 c < 0$ ；④不等式 $a x^{2} + b x + c < - \frac{c}{2} x + c$ 的解集为 $0 < x < 2$ ．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是．

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14. 将一副三角尺如图所示放置，其中 $A B ∥ D E$ ，则 $∠ C D F =$ 度．

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15. 点Q的横坐标为一元一次方程 $3 x + 7 = 32 - 2 x$ 的解，纵坐标为 $a + b$ 的值，其中a，b满足二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 a - b = 4 \\ - a + 2 b = - 8 \end{array}$ ，则点Q关于y轴对称点 $Q^{'}$ 的坐标为．

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16. 如图，等边三角形 $A B C$ 的边长为 $6 c m$ ，动点P从点A出发以 $2 c m / s$ 的速度沿 $A B$ 向点B匀速运动，过点P作 $P Q ⊥ A B$ ，交边 $A C$ 于点Q，以 $P Q$ 为边作等边三角形 $P Q D$ ，使点A，D在 $P Q$ 异侧，当点D落在 $B C$ 边上时，点P需移动s．

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17. 某款“不倒翁”（如图 $1$ ）的主视图是图 $2$ ， $P A ， P B$ 分别与 $\overset{⌢}{A M B}$ 所在圆相切于点A，B，若该圆半径是 $10 c m ， ∠ P = 60 °$ ，则主视图的面积为 $c m^{2}$ ．

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三、解答题

18. 计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 2} + t a n 45 ° - \sqrt{{(- 10)}^{2}}$ ．

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19. 以下是某同学化简分式

\frac{a - b}{a} \div (a - \frac{2 a b - b^{2}}{a})

的部分运算过程：

解：原式 $= \frac{a - b}{a} \div a - \frac{a - b}{a} + \frac{2 a b - b^{2}}{a}$ …………第一步

$= \frac{a - b}{a} \cdot \frac{1}{a} - \frac{a - b}{a} \cdot \frac{a}{2 a b - b^{2}}$ …………第二步

$= \frac{a - b}{a^{2}} = \frac{a - b}{2 a b - b^{2}}$ …………第三步

……

(1)、上面的运算过程中第步开始出现了错误；

(2)、请你写出完整的解答过程．

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20. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 $72 °$ 方向，距离灯塔 $100 n m i l e$ 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 $40 °$ 方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据： $s i n 72 ° \approx 0.95 ， c o s 72 ° \approx 0.31 ， t a n 72 ° \approx 3.08 ， s i n 40 ° \approx 0.64 ， c o s 40 ° \approx 0.77 ， t a n 40 ° \approx 0.84$ ．）

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21. 党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．×××中学在第

28

个“世界读书日”到来之际，对全校

2000

名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：

调查方式

抽样调查

调查对象

×××中学部分学生

平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）

A.8小时以上

B.6-8小时

C.4~6小时

D.0~4小时

请解答下列问题：

(1)、求参与本次抽样调查的学生人数；

(2)、求图2中扇形A所占百分比；

(3)、估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“

6 ~ 8

小时”人数；

(4)、在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率．

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22. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平；

操作二：在 $A D$ 上选一点P，沿 $B P$ 折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接 $P M$ 、 $B M$ ，延长 $P M$ 交 $C D$ 于点Q，连接 $B Q$ ．

(1)、如图1，当点M在 $E F$ 上时， $∠ E M B =$ 度；

(2)、改变点P在 $A D$ 上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断 $∠ M B Q$ 与 $∠ C B Q$ 的数量关系，并说明理由．

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23. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，D，E是 $⊙ O$ 上的两点，延长 $A B$ 至点C，连接 $C D$ ， $∠ B D C = ∠ A$ ．

(1)、求证： $△ A C D ∽ △ D C B$ ；

(2)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、若 $t a n E = \frac{3}{5} ， A C = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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24. 某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．

(1)、求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？

(2)、每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．

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25. 阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ 和系数a，b，c有如下关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．

材料2：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为m，n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

解：∵m，n是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根，

∴ $m + n = 1 ， m n = - 1$ ．

则 $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ ．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、应用：一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ；

(2)、类比：已知一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为m，n，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值；

(3)、提升：已知实数s，t满足 $2 s^{2} + 3 s - 1 = 0 ， 2 t^{2} + 3 t - 1 = 0$ 且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

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26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + \frac{8}{3} x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点 $C (0 ， - 4)$ ．

(1)、求这条抛物线的函数解析式；

(2)、P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作 $P D ⊥ x$ 轴，垂足为D，连接 $P C$ ．
①如图，若点P在第三象限，且 $t a n ∠ C P D = 2$ ，求点P的坐标；

②直线 $P D$ 交直线 $B C$ 于点E，当点E关于直线 $P C$ 的对称点 $E^{'}$ 落在y轴上时，请直接写出四边形 $P E C E^{'}$ 的周长．

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