辽宁省大连市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-17 类型：中考真卷

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一、选择题（本题共10小题，每小3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有1个选项正确)

1. －6的绝对值是（）

A、-6 B、6 C、- $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{6}$

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2. 如图所示的几何体中，主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，直线 $A B ∥ C D ， ∠ A B E = 45 ° ， ∠ D = 20 °$ ，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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4. 某种离心机的最大离心力为 $17000 g$ ．数据 $17000 g$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.17 \times 1 0^{4}$ B、 $1.7 \times 1 0^{5}$ C、 $1.7 \times 1 0^{4}$ D、 $17 \times 1 0^{3}$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 ${(\sqrt{2})}^{0} = \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{8} = 4 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3} (2 \sqrt{3} - 2) = 6 - 2 \sqrt{3}$

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6. 将方程 $\frac{1}{x - 1} + 3 = \frac{3 x}{1 - x}$ 去分母，两边同乘 $(x - 1)$ 后的式子为（）

A、 $1 + 3 = 3 x (1 - x)$ B、 $1 + 3 (x - 1) = - 3 x$ C、 $x - 1 + 3 = - 3 x$ D、 $1 + 3 (x - 1) = 3 x$

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7. 已知蓄电池两端电压 $U$ 为定值，电流 $I$ 与 $R$ 成反比例函数关系．当 $I = 4 A$ 时， $R = 10 Ω$ ，则当 $I = 5 A$ 时， $R$ 的值为（）

A、 $6 Ω$ B、 $8 Ω$ C、 $10 Ω$ D、 $12 Ω$

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8. 圆心角为 $90 °$ ，半径为3的扇形弧长为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $\frac{3}{2} π$ D、 $\frac{1}{2} π$

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9. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 1$ ，则当 $0 \leq x \leq 3$ 时，函数的最大值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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10. 某小学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取100名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图．下列说法错误的是（）

A、本次调查的样本容量为100 B、最喜欢篮球的人数占被调查人数的 $30 %$ C、最喜欢足球的学生为40人 D、“排球”对应扇形的圆心角为 $10 °$

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二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11. $9 > - 3 x$ 的解集为．

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12. 一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为．

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A C 、 B D$ 为菱形的对角线， $∠ D B C = 60 ° ， B D = 10$ ，点 $F$ 为 $B C$ 中点，则 $E F$ 的长为．

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14. 如图，在数轴上， $O B = 1$ ，过 $O$ 作直线 $l ⊥ O B$ 于点 $O$ ，在直线 $l$ 上截取 $O A = 2$ ，且 $A$ 在 $O C$ 上方．连接 $A B$ ，以点 $B$ 为圆心， $A B$ 为半径作弧交直线 $O B$ 于点 $C$ ，则 $C$ 点的横坐标为．

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15. 我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出 $8$ 元钱，会多 $3$ 钱；每人出 $7$ 元钱，又差 $4$ 钱，问人数有多少．设有 $x$ 人，则可列方程为：．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，延长 $B C$ 至 $E$ ，使 $C E = 2$ ，连接 $A E$ ， $C F$ 平分 $∠ D C E$ 交 $A E$ 于 $F$ ，连接 $D F$ ，则 $D F$ 的长为．

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三、解答题(本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分)

17. 计算： $(\frac{1}{a + 3} + \frac{1}{a^{2} - 9}) \div \frac{a - 2}{2 a + 6}$ ．

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18. 某服装店的某件衣服最近销售火爆．现有

A 、 B

两家供应商到服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装．检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：

%

），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：

Ⅰ． $A$ 供应商供应材料的纯度（单位： $%$ ）如下：

$A$	72	73	74	75	76	78	79
频数	1	1	5	3	3	1	1

Ⅱ． $B$ 供应商供应材料的纯度（单位： $%$ ）如下：

72 75 72 75 78 77 73 75 76 77 71 78 79 72 75

Ⅲ． $A 、 B$ 两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：

	平均数	中位数	众数	方差
$A$	75	75	74	3.07
$B$	$a$	75	$b$	$c$

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表格中的

a =

，

b =

，

c =

；

(2)、你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？为什么？

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19. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中，延长 $B C$ 交 $D E$ 于 $F$ ， $B C = D E ， A C = A E$ ， $∠ A C F + ∠ A E D = 180 °$ ．求证： $A B = A D$ ．

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20. 为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求 $2020 - 2022$ 年买书资金的平均增长率．

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四、解答题(本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分)

21. 如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知 $A E ⊥ B E ， B C ⊥ B E ， C D ∥ B E$ ， $A C = 10.4 m ， B C = 1.26 m$ ，点 $A$ 关于点 $C$ 的仰角为 $70 °$ ，则楼 $A E$ 的高度为多少 $m$ ？（结果保留整数．参考数据： $s i n 70 ° \approx 0.94 ， c o s 70 ° \approx 0.34 ， t a n 70 ° \approx 2.75$ ）

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22. 为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步．开始时男生跑了 $50 m$ ，女生跑了 $80 m$ ，然后男生女生都开始匀速跑步．已知男生的跑步速度为 $4.5 m / s$ ，当到达终点时男、女均停止跑步，男生从开始匀速跑步到停止跑步共用时 $100 s$ ．已知 $x$ 轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间， $y$ 轴代表跑过的路程，则：

(1)、男女跑步的总路程为．

(2)、当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．

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23. 如图1，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $A D$ 为 $∠ C A B$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $O D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ．

(1)、求 $∠ B E D$ 的度数；

(2)、如图2，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $B C$ 延长线于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D G ∥ A F$ 交 $A B$ 于点 $G$ ．若 $A D = 2 \sqrt{35} ， D E = 4$ ，求 $D G$ 的长．

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五、解答题(本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分)

24. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x$ 与直线 $B C$ 相交于点 $A$ ， $P (t ， 0)$ 为线段 $O B$ 上一动点（不与点 $B$ 重合），过点 $P$ 作 $P D ⊥ x$ 轴交直线 $B C$ 于点 $D$ ． $△ O A B$ 与 $△ D P B$ 的重叠面积为 $S$ ． $S$ 关于 $t$ 的函数图象如图2所示．

(1)、 $O B$ 的长为； $△ O A B$ 的面积为．

(2)、求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $t$ 的取值范围．

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25. 综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知 $A B = A C ， ∠ A > 90 °$ ，点 $E$ 为 $A C$ 上一动点，将 $△ A B E$ 以 $B E$ 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点 $D$ 落在 $B C$ 上时， $∠ E D C = 2 ∠ A C B$ ． ”
小红：“若点 $E$ 为 $A C$ 中点，给出 $A C$ 与 $D C$ 的长，就可求出 $B E$ 的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A > 90 ° ， △ B D E$ 由 $△ A B E$ 翻折得到．

(1)、如图1，当点 $D$ 落在 $B C$ 上时，求证： $∠ E D C = 2 ∠ A C B$ ；

(2)、如图2，若点 $E$ 为 $A C$ 中点， $A C = 4 ， C D = 3$ ，求 $B E$ 的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成 $∠ A < 90 °$ 的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A < 90 ° ， A B = A C = B D = 4 ， 2 ∠ D = ∠ A B D$ ．若 $C D = 1$ ，则求 $B C$ 的长．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C_{1} ： y = x^{2}$ 上有两点 $A 、 B$ ，其中点 $A$ 的横坐标为 $- 2$ ，点 $B$ 的横坐标为 $1$ ，抛物线 $C_{2} ： y = - x^{2} + b x + c$ 过点 $A 、 B$ ．过 $A$ 作 $A C ∥ x$ 轴交抛物线 $C_{1}$ 另一点为点 $C$ ．以 $A C 、 \frac{1}{2} A C$ 长为边向上构造矩形 $A C D E$ ．

(1)、求抛物线 $C_{2}$ 的解析式；

(2)、将矩形 $A C D E$ 向左平移 $m$ 个单位，向下平移 $n$ 个单位得到矩形 $A^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ ，点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 落在抛物线 $C_{1}$ 上．
①求 $n$ 关于 $m$ 的函数关系式，并直接写出自变量 $m$ 的取值范围；

②直线 $A^{'} E^{'}$ 交抛物线 $C_{1}$ 于点 $P$ ，交抛物线 $C_{2}$ 于点 $Q$ ．当点 $E^{'}$ 为线段 $P Q$ 的中点时，求 $m$ 的值；

③抛物线 $C_{2}$ 与边 $E^{'} D^{'} 、 A^{'} C^{'}$ 分别相交于点 $M 、 N$ ，点 $M 、 N$ 在抛物线 $C_{2}$ 的对称轴同侧，当 $M N = \frac{2 \sqrt{10}}{3}$ 时，求点 $C^{'}$ 的坐标．

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