湖北省黄冈、孝感、咸宁市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-17 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- 2$ 的相反数是（）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 2023年全国普通高校毕业生规模预计达到1158万人，数11580000用科学记数法表示为（）

A、 $1.158 \times 1 0^{7}$ B、 $1.158 \times 1 0^{8}$ C、 $1.158 \times 1 0^{3}$ D、 $1158 \times 1 0^{4}$

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3. 下列几何体中，三视图都是圆的是（）

A、长方体 B、图柱 C、圆锥 D、球

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4. 不等式 ${\begin{array}{l} x - 1 < 0 \\ x + 1 > 0 \end{array}$ 的解集为（）

A、 $x > - 1$ B、 $x < 1$ C、 $- 1 < x < 1$ D、无解

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5. 如图， $R t △ A B C$ 的直角顶点A在直线a上，斜边 $B C$ 在直线b上，若 $a ∥ b ， ∠ 1 = 55 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $55 °$ B、 $45 °$ C、 $35 °$ D、 $25 °$

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B$ 与弦 $C D$ 相交于点P，连接 $A C ， A D ， B D$ ，若 $∠ C = 20 °$ ， $∠ B P C = 70 °$ ，则 $∠ A D C =$ （）

A、 $70 °$ B、 $60 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 4$ ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $B C$ ， $B D$ 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 长为半径画弧交于点P，作射线 $B P$ ，过点C作 $B P$ 的垂线分别交 $B D ， A D$ 于点M，N，则 $C N$ 的长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图象与x轴的一个交点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，下列论中：① $a - b + c = 0$ ；②若点 $(- 3 ， y_{1}) ， (2 ， y_{2}) ， (4 ， y_{3})$ 均在该二次函数图象上，则 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ；③若m为任意实数，则 $a m^{2} + b m + c \leq - 4 a$ ；④方程 $a x^{2} + b x + c + 1 = 0$ 的两实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{1} < - 1 ， x_{2} > 3$ ．正确结论的序号为（）

A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、①④

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二、填空题

9. 计算； ${(- 1)}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{0} =$ ．

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10. 请写出一个正整数m的值使得 $\sqrt{8 m}$ 是整数； $m =$ ．

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11. 若正n边形的一个外角为 $72 °$ ，则 $n =$ ．

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12. 已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，若 $x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} = 1$ ，则实数 $k =$ ．

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13. 眼睛是心灵的窗户为保护学生视力，启航中学每学期给学生检查视力，下表是该校某班39名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是．

视力	4.0	4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.6	4.7	4.8	4.9	50
人数	1	2	6	3	3	4	1	2	5	7	5

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14. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面 $C D$ 的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为 $45 °$ ，尚美楼顶部F的俯角为 $30 °$ ，已知博雅楼高度 $C E$ 为15米，则尚美楼高度 $D F$ 为米．（结果保留根号）

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15. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中 $A F = a$ ， $D F = b$ ，连接 $A E ， B E$ ，若 $△ A D E$ 与 $△ B E H$ 的面积相等，则 $\frac{b^{2}}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2}} =$ ．

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16. 如图，已知点 $A (3 ， 0)$ ，点B在y轴正半轴上，将线段 $A B$ 绕点A顺时针旋转 $120 °$ 到线段 $A C$ ，若点C的坐标为 $(7 ， h)$ ，则 $h =$ ．

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三、解答题

17. 化简： $\frac{x^{2} + 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1}$ ．

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18. 创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．

(1)、求两种型号垃圾桶的单价；

(2)、若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？

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19. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

根据图中信息，请回答下列问题；

(1)、条形图中的 $m =$ ， $n =$ ，文学类书籍对应扇形圆心角等于度；

(2)、若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；

(3)、甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．

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20. 如图， $△ A B C$ 中，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线，且 $D E ⊥ A C$ ，垂足为 $E$ ，延长 $C A$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A B = A C$ ；

(2)、若 $A E = 3 ， D E = 6$ ，求 $A F$ 的长．

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21. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 与函数为 $y_{2} = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $A (4 ， 1) ， B (\frac{1}{2} ， a)$ 两点．

(1)、求这两个函数的解析式；

(2)、根据图象，直接写出满足 $y_{1} - y_{2} > 0$ 时x的取值范围；

(3)、点P在线段 $A B$ 上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数 $y_{2}$ 的图象于点Q，若 $△ P O Q$ 面积为3，求点P的坐标．

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22. 加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中 $1000 m^{2}$ 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/ $m^{2}$ ）与其种植面积x（单位： $m^{2}$ ）的函数关系如图所示，其中 $200 \leq x \leq 700$ ；乙种蔬菜的种植成本为50元/ $m^{2}$ ．

(1)、当 $x =$ $m^{2}$ 时， $y = 35$ 元/ $m^{2}$ ；

(2)、设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？

(3)、学校计划今后每年在这 $1000 m^{2}$ 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降 $10 %$ ，乙种蔬菜种植成本平均每年下降 $a %$ ，当a为何值时，2025年的总种植成本为 $28920$ 元？

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23. 【问题呈现】
$△ C A B$ 和 $△ C D E$ 都是直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 ° ， C B = m C A ， C E = m C D$ ，连接 $A D$ ， $B E$ ，探究 $A D$ ， $B E$ 的位置关系．

(1)、如图1，当 $m = 1$ 时，直接写出 $A D$ ， $B E$ 的位置关系：；

(2)、如图2，当 $m \neq 1$ 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

(3)、【拓展应用】
当 $m = \sqrt{3} ， A B = 4 \sqrt{7} ， D E = 4$ 时，将 $△ C D E$ 绕点C旋转，使 $A ， D ， E$ 三点恰好在同一直线上，求 $B E$ 的长．

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24. 已知抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A ， B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 2)$ ，点P为第一象限抛物线上的点，连接 $C A ， C B ， P B ， P C$ ．

(1)、直接写出结果； $b =$ ， $c =$ ，点A的坐标为， $t a n ∠ A B C =$ ；

(2)、如图1，当 $∠ P C B = 2 ∠ O C A$ 时，求点P的坐标；

(3)、如图2，点D在y轴负半轴上， $O D = O B$ ，点Q为抛物线上一点， $∠ Q B D = 90 °$ ，点E，F分别为 $△ B D Q$ 的边 $D Q ， D B$ 上的动点， $Q E = D F$ ，记 $B E + Q F$ 的最小值为m．
①求m的值；

②设 $△ P C B$ 的面积为S，若 $S = \frac{1}{4} m^{2} - k$ ，请直接写出k的取值范围．

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