浙江省杭州市上城区重点中学2022-2023学八年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-07-17 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列二次根式的运算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ B、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3} + \sqrt{3} = 4 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3} \times 5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3}$

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3. 下表是某篮球队的年龄分布，对于不同的

x

值，下列关于年龄的数据量不会发生改变的是（）

年龄 $/$ 岁	$12$	$13$	$14$	$15$
频数	$15$	$25$	$x$	$20 - x$

A、平均数、中位数 B、中位数、众数 C、中位数、方差 D、平均数、方差

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4. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 8 x + 2 = 0$ ，此方程可化为的正确形式是（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 14$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 18$ C、 ${(x + 4)}^{2} = 14$ D、 ${(x + 4)}^{2} = 18$

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5. 若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）

A、至少有一个角是钝角或直角 B、没有一个角是锐角 C、每一个角都是钝角或直角 D、每一个角是锐角

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6. 一个多边形的内角和是其外角和的 $3$ 倍，则这个多边形是（）

A、七边形 B、八边形 C、九边形 D、十边形

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7. 如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（）

A、20cm B、22cm C、24cm D、26cm

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8. 用 $12 m$ 长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为 $20 m^{2}$ ，并且在垂直于墙的一边开一个 $1 m$ 长的小门 $($ 用其它材料 $)$ ，若设垂直于墙的一边长为 $x m$ ，那么可列方程为（）

A、 $x \cdot \frac{12 - 2 x - 1}{2} = 20$ B、 $x \cdot \frac{12 - 2 x + 1}{2} = 20$ C、 $x (12 - 2 x + 1) = 20$ D、 $x (12 - 2 x - 1) = 20$

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9. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $E$ 为边 $B C$ 延长线上一点，连结 $A E$ 、 $D E .$ 若 $A D = 2$ ， $C E = 4$ ， $△ A D E$ 的面积为 $4$ ，则 $△ A B E$ 的面积为（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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10. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
$①$ 若 $a + c = b$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；

$②$ 若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；

$③$ 若 $x = c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；

$④$ 若 $x = x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ ；

其中正确的（）

A、只有 $① ② ④$ B、只有 $① ② ③$ C、只有 $② ③ ④$ D、只有 $① ②$

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二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 代数式 $\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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12. 超市把 $a$ 元 $/$ 千克的软糖 $m$ 千克， $b$ 元 $/$ 千克的水果糖 $n$ 千克，混合在一起，则混合后糖果的平均价格为元 $/$ 千克．

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13. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} = a$ 的两个根分别是 $2 m - 1$ 与 $m - 5$ ，则 $m =$ ．

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14. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $∠ C = 68 °$ ， $∠ D A B$ 的平分线 $A E$ 交 $D C$ 于点 $E$ ，连接 $B E .$ 若 $A E = A B$ ，则 $∠ E B C$ 的度数为．

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15. 如图，水库大坝截面的迎水坡 $A D$ 的坡比 $(D E$ 与 $A E$ 的长度之比 $)$ 为 $4$ ： $3$ ，背水坡 $B C$ 坡比为 $1$ ： $2$ ，大坝高 $D E = 20 m$ ，坝顶宽 $C D = 10 m$ ，则大坝横截面的周长为 $m .$

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16. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ A B' C$ ，连接 $B' D .$ 当 $B C$ 长为时， $△ A B' D$ 是直角三角形．

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三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 下面是小华同学解答题目的过程：
$\sqrt{\frac{9}{2}} - \sqrt{12} \times (\sqrt{24} + 3 \sqrt{\frac{2}{3}})$

$= \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} - \sqrt{12} \times (\sqrt{24} + 3 \sqrt{\frac{2}{3}}) \dots \dots$ 第一步．

$= \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{\frac{2}{3}} \dots \dots$ 第二步．

$= \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 12 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} \dots \dots$ 第三步．

$= \frac{9 \sqrt{2}}{2} \dots \dots$ 第四步．

小华的解题过程是否有错误？如果有，请写出正确解答过程．

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18. 解方程．

(1)、 $3 x (x + 1) = 2 (x + 1)$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ ．

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19. 某市举行知识大赛，

A

校、

B

校各派出

5

名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．

(1)、根据图示填写下表：

	平均数/分	中位数/分	众数/分
$A$ 校		85
$B$ 校	85		100

(2)、结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；

(3)、若

A

校的方差为

70

分

​^{2}

，计算

B

校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．

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20. 已知 $x = 2 - \sqrt{3}$ ， $y = 2 + \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $x^{2} + y^{2} - x y$ 的值；

(2)、若 $x$ 的小数部分是 $a$ ， $y$ 的整数部分是 $b$ ，求 $a x - b y$ 的值．

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21. 某商场一种商品的进价为每件 $30$ 元，售价为每件 $40$ 元 $.$ 每天可销售 $48$ 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．

(1)、若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 $32.4$ 元，求每次降价的百分率；

(2)、经调查，若该商品每降价 $1$ 元，每天可多销售 $8$ 件 $.$ 若每天要想获得 $504$ 元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？

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22. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 和 $∠ D A B$ 的角平分线 $B E$ 与 $A E$ 交于点 $E$ ，且点 $E$ 恰好在边 $C D$ 上．

(1)、求证： $E$ 为 $C D$ 的中点；

(2)、若 $A D = 3$ ， $B E = 4$ ，求 $A E$ 的长；

(3)、点 $F$ 为 $A E$ 的中点，连接 $C F$ ，交 $B E$ 于点 $G$ ，求证： $B G = 3 E G$ ．

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23. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $A C$ 是对角线， $D E ⊥ A C$ ， $B F ⊥ A C$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ，连接 $B E$ ， $D F$ ．

(1)、求证：四边形 $D E B F$ 是平行四边形．

(2)、如图 $2$ ，若▱ $A B C D$ 的四个内角为 $90 °$ ．
$①$ 若▱ $A B C D$ 两边 $A D$ ： $A B = 1$ ： $\sqrt{2}$ ，求证： $E$ 、 $F$ 是对角线 $A C$ 的三等分点．
$②$ 若四边形 $D E B F$ 与▱ $A B C D$ 的面积之比为 $k (0 < k < 1)$ ，请用含 $k$ 的式子表示出▱ $A B C D$ 的两边 $A B$ 与 $A D$ 的比．

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