广西钦州市2022-2023学年九年级下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2023-07-17 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共12小题，共60分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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2. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点A在双曲线 $y = - \frac{8}{x}$ 上，点B，C在x轴上，延长 $C D$ 至点E，使 $C D = 2 D E$ ，连接 $B E$ 交y轴于点F，连接 $C F$ ，则 $△ B F C$ 的面积为（）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $7$ D、 $8$

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3. 下列图形是中心对称图形，也是轴对称的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（）

A、56m² B、66m² C、72m² D、96m²

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5. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $22.5 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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6. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，点E在 $A D$ 上， $\frac{A E}{D E} = \frac{1}{3}$ ，点F为 $A B$ 的中点，点G，H为 $B D$ 上的动点， $G H = 1$ ，连接 $F H$ ， $E G$ ，则 $F H + E G$ 的最小值为（）

A、 $4$ B、 $\frac{17}{4}$ C、 $\frac{19}{4}$ D、 $5$

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7. 如图，甲乙两楼相距 $30$ 米，乙楼高度为 $36$ 米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为 $30 °$ ，则甲楼高度为（）

A、 $11$ 米 B、 $(36 - 15 \sqrt{3})$ 米 C、 $15 \sqrt{3}$ 米 D、 $(36 - 10 \sqrt{3})$ 米

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8. 如图，将 $△ A B C$ 放在每个小正方形的边长为 $1$ 的网格中，点A，B，C均在格点上，则 $t a n A$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 在边长相等的小正方形组成的网格中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上，那么 $cos ∠ B A C$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $A B = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $tan A = \frac{1}{2}$ C、 $cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $tan B = \sqrt{3}$

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11. 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13m，若sinα $= \frac{5}{13}$ ，则小车上升的高度是（）

A、5m B、6m C、6.5m D、12m

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12. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 9$ ， $c o s B =$ $\frac{2}{3}$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、6 B、2 $\sqrt{5}$ C、3 $\sqrt{5}$ D、9 $\sqrt{5}$

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二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若 $a + \frac{1}{a} = 7$ ，则 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} =$ ．

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14. 如图，两个反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 和 $y = \frac{3}{x}$ 在第一象限内的图象依次是 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ ，设点 $P$ 在 $C_{1}$ 上， $P C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，交 $C_{2}$ 于点 $A$ ， $P D ⊥ y$ 轴于点 $D$ ，交 $C_{2}$ 于点 $B$ ，若四边形 $P A O B$ 的面积为 $5$ ，则 $k =$ ．

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15. 东辰中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得 $2$ 分，负一场得 $1$ 分，已知七年级一班在 $8$ 场比赛中得到 $13$ 分，问七年级一班胜了场．

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16. 如图，已知正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 边上一动点 $($ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合 $)$ ，连接 $A E$ ，将 $A E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $E F$ ，连接 $C F$ ，连接 $A F$ 与 $C D$ 相交于点 $G$ ，连接 $D F$ ，当 $D F$ 最小时，四边形 $C E G F$ 的面积是．

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三、解答题（本大题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 如图， $△ A C B$ 和 $△ E C D$ 都是等腰直角三角形， $C A = C B$ ， $C E = C D$ ， $△ A C B$ 的顶点A在 $△ E C D$ 的斜边 $D E$ 上，连接 $D B$ .

(1)、证明： $△ E A C ≌ △ D B C$ ；

(2)、当点A在线段 $E D$ 上运动时，猜想 $A E 、 A D$ 和 $A C$ 之间的关系，并证明.

(3)、在A的运动过程中，当 $A E = \sqrt{2}$ ， $A D = \sqrt{6}$ 时，求 $△ A C M$ 的面积.

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18. 如图，一次函数 $y = - 2 x + b$ （ $b$ 为常数）的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k$ 为常数，且 $k \neq 0$ ）的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，且点A的坐标为 $(- 1 ， 4)$ ．

(1)、分别求出反比例函数及一次函数的表达式；

(2)、点 $C$ 在 $y$ 轴上，当 $S_{△ A B C} = 3$ 时，求点 $C$ 的坐标．

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19.

(1)、细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
${(\sqrt{1})}^{2} + 1 = 2 ， S_{1} = \frac{\sqrt{1}}{2}$

${(\sqrt{2})}^{2} + 1 = 3 ， S_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ${(\sqrt{3})}^{2} + 1 = 4 ， S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $(1)$ 请用含 $n (n$ 是正整数 $)$ 的等式表示上述变化规律；

(2)、推算出 $O A_{10}$ 的长；

(3)、求出 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} + \cdot \cdot \cdot + S_{10}^{2}$ 的值．

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20. 如图， $A B ⊥ B C$ ， $C D ⊥ B C$ ，且 $B C = C D = 4 c m$ ， $A B = 1 c m$ ，点P以每秒 $0.5 c m$ 的速度从点B开始沿射线 $B C$ 运动，同时点Q在线段 $C D$ 上由点C向终点D运动．设运动时间为t秒．

(1)、当 $t = 2$ 时， $B P =$ $c m$ ， $C P =$ $c m$ ．

(2)、如图 $①$ ，当点P与点Q经过几秒时，使得 $△ A B P$ 与 $△ P C Q$ 全等？此时，点Q的速度是多少？ $($ 写出求解过程 $)$

(3)、如图 $②$ ，是否存在点P，使得 $△ A D P$ 是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．

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21. 如图1所示，直线 $y = x + c$ 与x轴交于点 $A (- 4 ， 0)$ ，与y轴交于点C，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点A，C．

(1)、求抛物线的解析式 $；$

(2)、点E在抛物线的对称轴上，求 $C E + O E$ 的最小值；

(3)、如图 $2$ 所示，M是线段 $O A$ 的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线 $A C$ 和抛物线分别交于点P、N．
$①$ 若以C，P，N为顶点的三角形与 $△ A P M$ 相似，则 $△ C P N$ 的面积为；
$②$ 若点P恰好是线段 $M N$ 的中点，点F是直线 $A C$ 上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
注：二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点坐标为 $(- \frac{b}{2 a} ， \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})$

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