湖南省常德市安乡县2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-07-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 以下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成直角三角形的是（）

A、4，6，8 B、5，12，13 C、6，8，10 D、7，24，25

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2. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 $∠ A = 60 ° ， ∠ C = 90 ° ， A C = 2 k m$ ．据此，可求得学校与工厂之间的距离 $A B$ 等于（　　）

A、 $2 k m$ B、 $3 k m$ C、3.5km D、 $4 k m$

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3. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 一个多边形的内角和为360°，则这个多边形是（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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5. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对角线互相平分

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $D E$ 平分 $∠ A D C$ 交 $B C$ 于点E，连接 $A E$ ，若 $C D = 6 ， A E = 10$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、12 B、14 C、16 D、20

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7. 如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（）

A、∠DAB′=∠CAB′ B、∠ACD=∠B′CD C、AD=AE D、AE=CE

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8. 如图以a、b、c为边作一个 $R t △ A B C$ ，其中 $∠ C = 90 °$ ，分别以 $R t △ A B C$ 各边为边向外作三个正方形 $A B E D$ 、正方形 $B C G F$ 、正方形 $A C H I$ ，面积分别为S、 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ _，其中B、C、H在同一直线上， A、C、G三点在同一条直线上，连接 $I B$ 、 $D C$ ，过C作 $C K ⊥ D E$ ，垂足为K， $C K$ 交 $A B$ 于M，嘉淇在用本图证明勾股定理时，下列结论不成立的是（）

A、 $△ A B I ≌ △ A D C$ B、 $S_{1} + S_{2} = S$ C、 $I B ⊥ D C$ D、 $S_{矩形 A D K M} = S_{矩形 B E K M}$

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二、填空题

9. 已知直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的大小为.

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10. 如图，九洞天风景区内的路 $A C ， B C$ 互相垂直，路 $A B$ 的中点 $P$ 与点 $C$ 被经过景区的六冲河隔开．若测得路 $A B$ 的长为 $100 m$ ，则 $P$ 、 $C$ 两点间的距离．

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11. 如图， $△ A B C$ 是边长为 $4$ 的等边三角形，将 $△ A B C$ 沿直线 $B C$ 平移至 $△ D C E$ 的位置，连接 $B D$ ，则 $B D$ 的长是．

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12. 如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件．

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13. 一个正多边形的内角和为 $540 °$ ，则这个正多边形的每一个外角等于度．

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14. 如图所示，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 的中线， $D E ⊥ A C$ 于点E，若 $D E = 1$ ， $∠ A = 30 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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15. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B= ．

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16. 如图，将四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”．设直角三角形较长直角边长为x，较短直角边长为y．已知 $x y = 8$ ，大正方形边长为5，则小正方形的面积为．

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三、解答题

17. 如图， $△ D E F$ 是等边三角形，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别是 $E F$ 、 $E D$ 、 $F D$ 的中点，求证： $△ A B C$ 是等边三角形．

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18. 如图， $E$ ， $F$ 分别是平行四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ ， $C D$ 上的点，已知 $A E = C F$ ．求证： $D E = B F$ ．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 40 °$ ，高 $B E$ 、 $C F$ 交于点O，求 $∠ B O C$ 的度数．

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20. 如图，一架梯子 $A B$ 长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．

(1)、这个梯子的顶端距地面有多高？

(2)、如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？

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21. 如图，在涪江笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个景点A、B．其中 $A B = A C$ ，因C到A的路不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（A、H、B三点在同一直线上），并新修一条路CH，测得 $B C = 10$ 千米， $C H = 8$ 千米， $B H = 6$ 千米．

(1)、判断△BCH的形状，并说明理由；

(2)、求原路线AC的长．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，D、E分别为AB、AC的中点，过点C作 $C F / / B D$ 交DE的延长线于点F．

(1)、求证：四边形BCFD为平行四边形；

(2)、若 $B C = 6$ ，求EF的长．

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23. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF.

(1)、求证：四边形BCFD是菱形；

(2)、若AD=1，BC=2，求BF的长.

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24. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，EF分别是BD、AC的中点，

(1)、请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；

(2)、当AC=8，BD=10时，求EF的长.

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25. 【阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．

(1)、【理解】
①若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = 15 °$ ，则 $△ A B C$ “准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知 $△ A B C$ 是“准直角三角形”，且 $∠ C > 90 °$ ， $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

(2)、【应用】
如图，在 $△ A B C$ 中，点D在 $A C$ 上，连接 $B D$ ．若 $B D = A D$ ， $A C = 18$ ， $B C = 12$ ， $A D ： C D = 5 ： 13$ ，试说明 $△ A B C$ 是“准直角三角形”．

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26. 如图1， $O$ 是平行四边形 $A B C D$ 对角线的交点，过点 $O$ 作 $O H ⊥ A B$ ， $O M ⊥ B C$ ，垂足分别为 $H$ ， $M$ ，若 $O H \geq O M$ ，我们称 $λ = \frac{O H}{O M}$ 是平行四边形 $A B C D$ 的心距比．

(1)、如图2，四边形 $A B C D$ 是矩形， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $λ =$ ．

(2)、如图3，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $λ = 1$ ，求证：四边形 $A B C D$ 是菱形．

(3)、已知如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 75 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别在 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 边上，若存在一个四边形 $B E F G$ 是平行四边形，且 $λ = \sqrt{2}$ ，请通过尺规作图作出一个点 $F$ ．（不写作法，但保留作图痕迹；如若有必要，可简述作图思路）

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