湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-07-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列式子中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{8 a}$ B、 $\sqrt{0.2}$ C、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ D、 $\sqrt{9}$

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2. 如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为(　　)

A、(1，0) B、(-5，0) C、(0，1) D、(-1，0)

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3. 下列计算正确的是(　　)

A、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{40} \div \sqrt{5} = 2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{{(- 15)}^{2}} = - 15$

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4. 如图，平行四边形ABCD中，CE垂直于AB，∠D=53°，则∠BCE的大小是（　　）

A、53° B、43° C、47° D、37°

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5. 下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（）
①AB=CD，AD=BC②AB=CD，AB $∥$ CD ③AB=CD，AD $∥$ BC④AB $∥$ CD，AD $∥$ BC

A、②③④ B、①②④ C、①②③ D、①③④

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6. 菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积等于（）

A、12 B、24 C、25 D、48

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 90 °$ ， $A E = B E$ ， $B F = C F$ ，连接 $E F$ ， $A D = 3$ ， $C D = 1$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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8. 如图，用直尺和圆规作菱形 $A B C D$ ，作图过程如下：①作锐角 $∠ A$ ；②以点 $A$ 为圆心，以任意长度为半径作弧，与 $∠ A$ 的两边分别交于点 $B$ ， $D$ ；③分别以点 $B$ ， $D$ 为圆心，以 $A D$ 的长度为半径作弧，两弧相交于点 $C$ ，分别连接 $D C$ ， $B C$ ，则四边形 $A B C D$ 即为菱形，其依据是（）

A、一组邻边相等的四边形是菱形 B、四条边相等的四边形是菱形 C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

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9. 如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（）

A、3 B、 $\frac{24}{5}$ C、5 D、 $\frac{89}{16}$

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10. 在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S₁ ， S₂ ， S₃ ， S₄ ，则S₁+S₂+S₃+S₄=（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、填空题

11. 若二次根式 $\sqrt{x - 5}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围为．

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12. 若 $| a - 2 | + \sqrt{a + b} = 0$ ，则 $a^{b} =$ .

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13. 若平行四边形相邻的两边长分别是 $\sqrt{20} c m$ 和 $\sqrt{125} c m$ ，则其周长为 $c m$ ．

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14. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离为．

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15. 如图，点 $P$ 是 $∠ A O B$ 的角平分线上的一点，过点 $P$ 作 $P C ∥ O A$ 交 $O B$ 于点 $C$ ， $P D ⊥ O A$ ，若 $∠ A O B = 60 °$ ， $O C = 6$ ，则 $P D =$ ．

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16. 如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到 $A^{'}$ ，使梯子的底端 $A^{'}$ 到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至 $B^{'}$ ，那么 $B B^{'}$ 的值：①等于1米；②大于1米；③小于1米．其中正确结论的序号是．

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三、解答题

17.

(1)、4 $\sqrt{5}$ - $\sqrt{8}$ -（ $\sqrt{45}$ -4 $\sqrt{2}$ ）

(2)、（2 $\sqrt{7}$ +5）（2 $\sqrt{7}$ -5）

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18. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 中点，连接 $A D$ ，过点 $A$ 作 $A N ∥ B C$ ．

(1)、尺规作图：过点 $C$ 作直线 $C E ⊥ A N$ 于点 $E$ （基本作图，保留作图痕迹不写作法，并标明字母）；

(2)、求证：四边形 $A D C E$ 是矩形．

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19. 如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 的角平分线交 $B C$ 于点D， $D E / / A B ， D F / / A C$ .

(1)、试判断四边形 $A F D E$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $∠ B A C = 90 °$ ，且 $A D = 2 \sqrt{2}$ ，求四边形 $A F D E$ 的面积.

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21. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， $B E // A C$ ， $A E // B D$ ，OE与AB交于点F.

(1)、求证：四边形AEBO为矩形；

(2)、若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积.

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22. 如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．

(1)、求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)、当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．

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23. 像 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 ， (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) = 2 ， (\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ …两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．
a. $\frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ；
b. $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 + 2 \sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2 \sqrt{2}$ ．
勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
c.化简： $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ．
解：设 $x = \sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} > \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ， ∴ $x > 0$ ．
由： $x^{2} = 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2 \sqrt{(\sqrt{3 + \sqrt{5}}) (\sqrt{3 - \sqrt{5}})} = 6 - 2 \sqrt{4} = 2$ ．解得 $x = \sqrt{2}$ ．
即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2}$ ．
请你解决下列问题：

(1)、 $2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3}$ 的有理化因式是；

(2)、化简： $\frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ；

(3)、化简： $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ ．

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24. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 8 c m$ ， $A D = 12 c m$ ， $B C = 18 c m$ ，点P从点A出发，以 $1 c m / s$ 的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 $2 c m / s$ 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为 $t s$ ．

(1)、 $C D$ 边的长度为cm，t的取值范围为．

(2)、从运动开始，当t取何值时， $P Q / / C D$ ？

(3)、从运动开始，当t取何值时， $P Q = C D$ ？

(4)、在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形 $P Q C D$ 是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

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