山东省济南市历下区2022-2023学年七年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-07-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 4的平方根是（）

A、 ±2 B、2 C、﹣2 D、16

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2. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都开幕．以下是历届世界大学生夏季运动会的标志，其中是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，点E在 $A C$ 的延长线上，下列条件中能判断 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 3 = ∠ 4$ C、 $∠ D = ∠ D C E$ D、 $∠ D + ∠ D C A = 180 °$

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4. 下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　）
红色瓷砖数量（r）
3
4
5
6
7
白色瓷砖数量（w）
6
8
10
12
14

A、 $w = r + 3$ B、 $w = 2 r$ C、 $w = \frac{r}{2}$ D、 $w = r + 7$

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5. 下列运算正确的是（　　）

A、 $3 a^{2} b \div b = 3 a^{2}$ B、 $a^{12} ÷ a^{3} = a^{4}$ C、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = 8 a^{6}$

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6. 事件：“在只装有2个红球和6个黑球的袋子里，摸出一个白球”是（　　）

A、不确定事件 B、随机事件 C、必然事件 D、不可能事件

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7. 如图， $△ A O D ≌ △ C O B$ ，若 $A O = 5$ ，则 $A C$ 的长度为（　　）

A、2 B、5 C、10 D、15

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8. 如图，一个均匀的转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为“4的倍数”的概率为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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9. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，甲船沿北偏西 $50 °$ 方向，以每小时12海里的速度航行；乙船沿北偏东 $40 °$ 方向，以每小时16海里的速度航行.1小时后两船分别位于点A与B处，此时两船相距（　　）

A、12海里 B、16海里 C、20海里 D、24海里

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10. 如图，在锐角三角形 $A B C$ 中，直线l为 $B C$ 的中垂线，射线 $B P$ 为 $∠ A B C$ 的角平分线，且直线l与射线 $B P$ 相交于点P．若 $∠ A = 64 ° ， ∠ A C P = 26 °$ ，则 $∠ A B P$ 的度数为（　　）

A、 $30 °$ B、 $32 °$ C、 $34 °$ D、 $36 °$

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二、填空题

11. $\sqrt[3]{27} - 2$ ．

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12. 如图，直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点O，如果 $∠ 1 + ∠ 2 = 260 °$ ，那么 $∠ 3$ 是度．

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13. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A B = 16 ， B C = 10$ ， $△ A B D$ 和 $△ B C D$ 的周长的差是．

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14. 一个袋子中装有12个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，如果摸出白球的概率是 $\frac{1}{4}$ ，则白球的数量为个．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A C$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点D，交 $A B$ 于点E，已知 $△ B C E$ 的周长为 $15 c m$ ， $B C = 7 c m$ ，则 $A D =$ $c m$ ．

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16. 如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为米．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $2 a^{3} + a^{7} \div a^{2}$

(2)、 $(x + y) (x - y) + x (2 y - x)$

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18. 如图，在 $△ A B C$ 与 $△ D C B$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点E，且 $A E = D E ， ∠ A = ∠ D$ ．试说明： $B E = C E$ ．

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19. 先化简，再求值： $(x + 2 y)^{2} - (x^{3} + 4 x^{2} y) \div x$ ．其中 $x = 2023 ， y = 2$ ．

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20. 如图，在方格纸中，每个方格的边长为 $1$ ．

(1)、画出四边形 $A B C D$ 关于直线l对称的图形四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ；

(2)、四边形 $A B C D$ 的面积为；

(3)、直线l上存在一点P，CP与 $D P$ 之和最短，请画出P点的位置（保留作图痕迹）．

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 90 ° ， A B = 4 ， A D = 3 ， B C = 13 ， C D = 12$ ．求四边形 $A B C D$ 的面积．

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22. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $B D$ 为 $∠ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ B C$ ，垂足为E， $A B = 8 ， B C = 10$ ．求 $C D + D E$ 的值．

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23. 小蒙设计一个抽奖游戏：如图 $1$ ，宝箱由 $7 \times 7$ 个方格组成，方格中随机放置着 $10$ 个奖品，每个方格最多能放一个奖品．

(1)、如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是．

(2)、为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏．小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现了数字 $2$ ，如图 $2$ ．小蒙解释，这说明与这个方格相邻的 $8$ 个方格（即区域 $A$ ）中有两个放置了奖品，进行第二次抽奖，小雨将有两种选择，打开区域 $A$ 中的小方格，或者打开区域 $A$ 外的小方格．为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？请说明理由．

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24. 如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．

(1)、现在想修一条从公路l到A中学的新路 $A D$ （点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路 $A D$ 长度是多少？

(2)、为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过 $B E$ 区间用时5秒，若公路l限速为 $60 k m / h$ （约 $16 ． 7 m / s$ ），请判断该车是否超速，并说明理由．

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25. 如图1，两条互相垂直的公路m、n，十字路口记作点A．小海从公路m上的点B出发，骑车向北匀速直行，中途遇上红灯（忽略停车与起步的速度变化）；同时，小丹从点A出发，沿公路n步行向东匀速直行．设出发时间为t（分钟），两人与点A的距离为S（米）．图2是两人与路口的距离S（米）与运动时间t（分钟）之间的关系图．

(1)、 $A 、 B$ 两点之间的距离为米，小海等红灯的时间为分钟；

(2)、当小海等红灯时，此时小丹前进了米；

(3)、求小海经过路口A后S与t的关系式；

(4)、当两人距离路口A距离相等时，直接写出运动时间．

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26. 小琳在学习等腰三角形性质“三线合一”时，发现：

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中，若 $A D ⊥ B C ， B D = C D$ ，可以得出 $∠ 1 = ∠ 2$ ．请你用所学知识证明此结论．

(2)、小琳提出了一个问题：如图2，如果 $A D ⊥ B C ， A B + B D = A C + C D$ ，能不能说明 $∠ 1 = ∠ 2$ ？小琳不知道这个问题如何解决，便询问老师，老师进行了指导：条件里有“ $A B + B D$ ”和“ $A C + C D$ ”，我们可以尝试将 $A B$ 和 $B D$ “变成”一条线段，将 $A C$ 和 $C D$ “变成”一条线段，为了确保 $A D ⊥ B C$ 的条件可以使用， $B D$ 和 $C D$ 的位置最好不要改变，所以我们可以“延长 $D B$ 至E，使 $B E = A B$ ，延长 $D C$ 至F，使 $C F = A C$ ”．老师指导后，小琳还是没有思路．请你帮助小琳，完成问题的解答，

(3)、小琳又提出了新的问题：如图3，如果 $∠ 1 = ∠ 2 ， A B + B D = A C + C D$ ，能不能说明 $A D ⊥ B C$ ？请你帮助小琳，完成问题的解答．

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红色瓷砖数量（r）	3	4	5	6	7
白色瓷砖数量（w）	6	8	10	12	14