上海市普陀区2022-2023年七年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-07-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列实数中，无理数是（）

A、0 B、 $0.232332333$ C、 $\sqrt{49}$ D、 $\sqrt[3]{100}$

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2. 下列说法中，错误的是（）

A、1的平方根是1 B、0的任何次方根都是0 C、 $- 1$ 的立方根是 $- 1$ D、负数没有平方根

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3. 如图，已知在 $△ A B C$ 和 $△ B A D$ 中， $B C = A D$ ， $∠ A B C = ∠ B A D$ ，能直接判定 $△ A B C ≌ △ B A D$ 的依据是（）

A、 $S S S$ B、 $A A S$ C、 $A S A$ D、 $S A S$

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4. 在直角坐标平面内，如果点 $P (m ， n)$ 在第二象限，那么点 $Q (- n ， m)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 下列说法：①同旁内角互补；②对顶角相等；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果三条线段 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a + b > c$ ，那么这三条线段 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 一定能组成三角形．其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 在直角坐标平面内， $△ A B C$ 经过平移，其顶点 $A (2 ， - 1)$ 的对应点 $A_{1}$ 的坐标是 $(- 2 ， 3)$ ，那么其内部任意一点 $D (x ， y)$ 的对应点 $D_{1}$ 的坐标一定是（）

A、 $(- x ， - y)$ B、 $(- x ， y + 4)$ C、 $(x - 4 ， y + 4)$ D、 $(x + 4 ， y - 4)$

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二、填空题

7. 36的平方根是.

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8. 计算：( $- \sqrt{5}$ )²=。

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9. 比较大小： $3 \sqrt{2}$ $\sqrt{19}$ ．（填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）

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10. 用科学记数法表示 $0.00763$ ，结果保留两个有效数字约为．

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11. 在直角坐标平面内，点A的坐标为 $(\sqrt{3} ， - 1)$ ，点B的坐标为 $(3 \sqrt{3} ， - 1)$ ，那么A、B两点间的距离等于．

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12. 如图，已知直线 $a ∥ b$ ，点A在直线a上，点B、C在直线b上，点P在线段 $A B$ 上，如果 $∠ 1 = 70 °$ ， $∠ 2 = 100 °$ ，那么 $∠ P C B =$ $°$ ．

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13. 在平面直角坐标系内，点 $(- 3 ， 1)$ 关于y轴对称的点的坐标为．

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14. 经过点Q （2，﹣3）且平行y轴的直线可以表示为直线．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 是 $△ A B C$ 角平分线的交点，若 $∠ A = 70 °$ ， $∠ B O C =$ ．

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16. 如果一个等腰三角形的周长等于20，且一边的长等于4，那么这个等腰三角形的腰长等于．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E分别在边 $B C$ 、 $A B$ 上， $A D = D E$ ，如果 $∠ C A D = 60 °$ ， $∠ B D E = 15 °$ ，那么 $∠ C =$ $°$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 40 °$ ，点D是边 $A B$ 上的一点，将 $△ B C D$ 沿直线 $C D$ 翻折，使点B落在边 $A C$ 上的点E处，如果 $△ A D E$ 是等腰三角形，那么 $∠ A B C =$ $°$ ．

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三、解答题

19. 计算： ${(- 27)}^{\frac{1}{3}} + {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{- 3} - {(\sqrt{3} + 1)}^{0}$

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20. 计算： $\sqrt[3]{9} \div \sqrt{27} \times \sqrt[4]{81}$ ．（结果用幂的形式表示）．

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21. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点D、G分别在边 $B C$ 、 $A C$ 上，且 $∠ B = ∠ G D C$ ， F在 $D G$ 的延长线上，E在 $G C$ 上，如果 $∠ A G F = ∠ D A G + ∠ 3$ ，说明 $∠ 1 = ∠ 3$ 的理由．

解：因为 $∠ B = ∠ G D C$ （已知），所以 $A B ∥ G D$ （  ）
所以 $∠ 1 =$        ▲       （  ）．
因为 $∠ A G F = ∠ 2 +$        ▲  （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
因为 $∠ A G F = ∠ D A G + ∠ 3$ （已知），所以 $∠ 2 =$        ▲  （等式性质）．
所以 $∠ 1 = ∠ 3$ （等量代换）．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C = 30 °$ ，点D、E在边 $B C$ 上（点D在点E的左侧）， $B D = C E$ ， $∠ D A E = 2 ∠ 1$ ，说明 $△ A D E$ 是等边三角形的理由．
解：因为 $∠ B = ∠ C$ （已知），所以 $A B = A C$ （  ）．
在 $△ A B D$ 和 $△ A C E$ 中， ${\begin{array}{l} A B = A C \\ ∠ B = ∠ C \\ B D = C E \end{array}$ $△ A B D ≌ △ A C E (S A S)$ ．
所以       ▲  （全等三角形的对应边相等）， $∠ 1 = ∠ 2$ （全等三角形的对应角相等）．
因为 $∠ B + ∠ C + ∠ B A C = 180 °$ （  ），
又因为 $∠ B = ∠ C = 30 °$ （已知），
所以 $∠ B A C = 120 °$ ．即 $2 ∠ 1 + ∠ D A E = 120 °$ ．
因为 $∠ D A E = 2 ∠ 1$ （已知），所以 $∠ D A E =$        ▲   $°$ ．
所以 $△ A D E$ 是等边三角形（  ）．

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23. 根据下列要求画图并回答问题：

(1)、画图（不要求写画法和结论）；
①画 $△ A B C$ ，使 $A B = 6 c m$ ， $A C = 4 c m$ ， $B C = 3 c m$ ；
②分别画 $A B$ 、 $A C$ 边上的高 $C H$ 、 $B G$ ；

(2)、在（1）的图形中，可得 $C H ： B G$ 的值为．

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24. 小明已经会用三角尺过直线外一点作已知直线的垂线，小明发现如果利用直尺和圆规，也可以实现．如图7，已知直线a，点P为直线a外一点，以下是小明的作图方法：
①以点P为圆心，大于点P到直线a的距离的长为半径作弧，交直线a于点A、B；

②分别以点A、点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧交于直线a下方一点 $Q$ ；

③作直线 $P Q$ ，交直线a于点C．

试说明 $P Q ⊥ a$ 的理由：

解：连接 $A P$ 、 $B P$ 、 $A Q$ 、 $B Q$ ．

在 $△ A P Q$ 与 $△ B P Q$ 中， ${\begin{array}{l} A P = ▲ \\ ▲ = B Q \\ P Q = P Q \end{array}$ ，

所以 $△ A P Q ≌ △ B P Q$ （）．（完成以下说理过程）

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25. 如图，已知 $△ A B C$ 的顶点为 $A (2 ， - 4)$ ，点B在 $x$ 轴的负半轴上且到 $y$ 轴的距离为5，点C与点A关于原点对称．

(1)、写出点B、C的坐标是：B ， C；

(2)、在平面直角坐标系中画出 $△ A B C$ ，可以求得 $△ A B C$ 的面积是；

(3)、如果点D在 $x$ 轴上，且 $S_{△ A B D} = S_{△ A B C}$ ，那么点D的坐标是．

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26. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A H$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，以 $A B$ 为边向外作等边三角形 $A B D$ ，连接 $C D$ ，分别交 $A H$ 、 $A B$ 于点E、F，连接 $E B$ ．

(1)、试说明 $∠ A B E = ∠ A C E$ 的理由；

(2)、求 $∠ D E B$ 的大小．

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27. 在直角坐标平面内，点 $A (3 ， 0)$ ，点B是第二象限内任意一点（如图所示）．线段 $A B$ 绕点 $A$ 旋转 $90 °$ 后的图形为 $A C$ ，连接 $B C$ ．

(1)、当线段 $A B$ 绕点A顺时针旋转时，
①如果点B的坐标为 $(- 1 ， 2)$ ，过点B作 $B H ⊥ O A$ ，垂足为点H，直接写出线段 $A H$ 的长；
②如果点B的横坐标为a，且 $B C ∥ O A$ ，求点B的纵坐标；（用含a的代数式表示）

(2)、设点B的坐标为 $(m ， n)$ ，直接写出点C的坐标．（用含m、n的代数式表示）

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