湖南省长沙市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-17 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列各数中，是无理数的是（　　）

A、 $\frac{1}{7}$ B、π C、 $- 1$ D、0

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2. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（　　）

A、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ B、 ${(x^{3})}^{3} = x^{6}$ C、 $x (x + 1) = x^{2} + 1$ D、 ${(2 a - 1)}^{2} = 4 a^{2} - 1$

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4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）

A、1，3，4 B、2，2，7 C、4，5，7 D、3，3，6

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5. 2022年，长沙市全年地区生产总值约为1400000000000元，比上年增长 $4.5 %$ ．其中数据1400000000000用科学记数法表示为（　　）

A、 $1.4 \times 1 0^{12}$ B、 $0.14 \times 1 0^{13}$ C、 $1.4 \times 1 0^{13}$ D、 $14 \times 1 0^{11}$

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6. 如图，直线 $m ∥$ 直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接 $A B$ ，过点A作 $A C ⊥ A B$ ，交直线m于点C．若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（　　）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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7. 长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（　　）

A、这周最高气温是32℃ B、这组数据的中位数是30 C、这组数据的众数是24 D、周四与周五的最高气温相差8℃

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8. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 4 > 0 \\ x - 1 \leq 0 \end{array}$ 的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = x - 4$ C、 $y = 2 x$ D、 $y = - x + 1$

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10. “千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片（分别写有“福”字、春联、灯笼）的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品，现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

11. 分解因式：n²﹣100= ．

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12. 睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到班上某位学生的5天睡眠时间（单位：小时）如下：10，9，10，8，8，则该学生这5天的平均睡眠时间是小时．

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13. 如图，已知 $∠ A B C = 50 °$ ，点D在 $B A$ 上，以点B为圆心， $B D$ 长为半径画弧，交 $B C$ 于点E，连接 $D E$ ，则 $∠ B D E$ 的度数是度．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在反比例函数 $y =$ $\frac{k}{x}$ $(k$ 为常数， $k > 0$ ， $x > 0)$ 的图象上，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $B$ ，连接 $O A$ ．若 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{19}{12}$ ，则 $k =$ ．

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15. 如图，点A，B，C在半径为2的 $⊙ O$ 上， $∠ A C B = 60 °$ ， $O D ⊥ A B$ ，垂足为E，交 $⊙ O$ 于点D，连接 $O A$ ，则 $O E$ 的长度为．

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16. 毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步.2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的 $\frac{1}{2}$ ，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为万里．

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三、解答题

17. 计算： $| - \sqrt{2} | + {(- 2023)}^{0} - 2 s i n 45 ° - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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18. 先化简，再求值： $(2 - a) (2 + a) - 2 a (a + 3) + 3 a^{2}$ ，其中 $a = - \frac{1}{3}$ ．

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19. $2023$ 年 $5$ 月 $30$ 日 $9$ 点 $31$ 分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面 $O$ 处发射，当飞船到达 $A$ 点时，从位于地面 $C$ 处的雷达站测得 $A C$ 的距离是 $8 k m$ ，仰角为 $30 °$ ； $10 s$ 后飞船到达 $B$ 处，此时测得仰角为 $45 °$ ．

(1)、求点 $A$ 离地面的高度 $A O$ ；

(2)、求飞船从 $A$ 处到 $B$ 处的平均速度．(结果精确到 $0.1 k m / s$ ，参考数据： $\sqrt{3}$ $\approx 1.73$ )

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20. 为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级（D： $60 \leq x ＜ 70$ ；C： $70 \leq x ＜ 80$ ；B： $80 \leq x ＜ 90$ ；A： $90 \leq x \leq 100$ ），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空：n= ， m=；

(2)、请补全频数分布直方图；

(3)、扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为　　度；

(4)、若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．

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21. 如图， $A B = A C$ ， $C D ⊥ A B$ ， $B E ⊥ A C$ ，垂足分别为 $D$ ， $E$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ A C D$ ；

(2)、若 $A E = 6$ ， $C D = 8$ ，求 $B D$ 的长．

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22. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共 $16$ 个班级参加．

(1)、比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积 $3$ 分，负一场积 $1$ 分．某班级在 $15$ 场比赛中获得总积分为 $41$ 分，问该班级胜负场数分别是多少？

(2)、投篮得分规则：在 $3$ 分线外投篮，投中一球可得 $3$ 分，在 $3$ 分线内 $($ 含 $3$ 分线 $)$ 投篮，投中一球可得 $2$ 分，某班级在其中一场比赛中，共投中 $26$ 个球 $($ 只有 $2$ 分球和 $3$ 分球 $)$ ，所得总分不少于 $56$ 分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个 $3$ 分球？

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23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $D F$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $B C$ 于点E，交 $A B$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $A D = A F$ ；

(2)、若 $A D = 6 ， A B = 3 ， ∠ A = 120 °$ ，求 $B F$ 的长和 $△ A D F$ 的面积．

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24. 如图，点A，B，C在 $⊙ O$ 上运动，满足 $A B^{2} = B C^{2} + A C^{2}$ ，延长 $A C$ 至点D，使得 $∠ D B C = ∠ C A B$ ，点E是弦 $A C$ 上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦 $A B$ 的垂线，交 $A B$ 于点F，交 $B C$ 的延长线于点N，交 $⊙ O$ 于点M（点M在劣弧 $\overset{⌢}{A C}$ 上）．

(1)、 $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

(2)、记 $△ B D C ， △ A B C ， △ A D B$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S$ ，若 $S_{1} \cdot S = {(S_{2})}^{2}$ ，求 ${(t a n D)}^{2}$ 的值；

(3)、若 $⊙ O$ 的半径为1，设 $F M = x$ ， $F E \cdot F N \cdot \sqrt{\frac{1}{B C \cdot B N} + \frac{1}{A E \cdot A C}} = y$ ，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

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25. 我们约定：若关于x的二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 同时满足 $\sqrt{a_{2} - c_{1}} + （ b_{2} + b_{1} ）^{2} + | c_{2} - a_{1} | = 0 ， b_{1} - {b_{2}}^{2023} \neq 0$ ，则称函数 $y_{1}$ 与函数 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：

(1)、若关于x的二次函数 $y_{1} = 2 x^{2} + k x + 3$ 与 $y_{2} = m x^{2} + x + n$ 互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；

(2)、对于任意非零实数r，s，点 $P (r ， t)$ 与点 $Q (s ， t) (r \neq s)$ 始终在关于x的函数 $y_{1} = x^{2} + 2 r x + s$ 的图像上运动，函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．
①求函数 $y_{2}$ 的图像的对称轴；
②函数 $y_{2}$ 的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

(3)、在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 与它的“美美与共”函数 $y_{2}$ 的图像顶点分别为点A，点B，函数 $y_{1}$ 的图像与x轴交于不同两点C，D，函数 $y_{2}$ 的图像与x轴交于不同两点E，F．当 $C D = E F$ 时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．

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