北师大版数学九年级上册同步练习——第二章《一元二次方程》5 一元二次方程的根与系数的关系

试卷更新日期：2023-07-17 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 6$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 6$ C、 $x_{1} · x_{2} = \frac{7}{6}$ D、 $x_{1} · x_{2} = 7$

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2. 方程 $x^{2} - 2 x - 24 = 0$ 的根是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2}$ 的值为（）

A、22 B、 $- 22$ C、 $- 26$ D、26

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3. 若m，n是方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两根，如图，表示 $\frac{2 m n^{2}}{m^{2} - n^{2}} - \frac{m n}{m - n}$ 的值所对应的点落在（）

A、第①段 B、第②段 C、第③段 D、第④段

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4. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 8 x + m = 0$ 两根为 $x_{1} 、 x_{2}$ ，且 $x_{1} = 3 x_{2}$ ，则m的值为（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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5. 若关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} - (k - 1) x + k + 1 = 0$ 的两个实数根满足关系式 $| x_{1} - x_{2} | = 1$ ，则 $k$ 的值为（）

A、11 B、-1 C、11或-1 D、11或-1或1

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6. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知x₁ ， x₂是一元二次方程x²+2ax+b=0的两个根，且x₁+x₂=3，x₁·x₂=1则a，b的值分别是（）

A、a=-3，b=1 B、a=3，b=1 C、a= $- \frac{3}{2}$ ， b=-1 D、a= $- \frac{3}{2}$ ， b=1

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8. 已知关于x的一元二次方程x²－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$ ，则k的值是（）

A、－2 B、2 C、－1 D、1

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二、填空题

9. 已知一元二次方程x²-3x＋1＝0有两个实数根x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂-x₁x₂的值等于．

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10. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根，则代数式 $\frac{x_{1} + x_{2}}{1 + x_{1} x_{2}}$ 的值为．

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11. 已知方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $(x_{1} + 2) \cdot (x_{2} + 2)$ 的值为．

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12. 若a、b是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $a + b - a b$ 的值为．

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13. $α$ 、 $β$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - x + k - 1 = 0$ 的两个实数根，且 $α^{2} - 2 α - β = 4$ ，则 $k$ 的值为．

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14. 关于x的一元二次方程2x²+4mx+m=0有两个不同的实数根x₁ ， x₂ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \frac{3}{16}$ ，则m= ．

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三、解答题

15. 已知一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 8 = 0$ 的两个根分别为m，n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

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16. 已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²－（2k＋3）x＋k²＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

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17. 已知方程 $x^{2} + (1 - \sqrt{2}) x - \sqrt{2} = 0$ 的两根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，求 ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ 的值．

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18. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + k - 2 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = - 1$ ，求k的值．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x - 3 m^{2} + m = 0$

(1)、求证：无论m为何值，方程总有实数根；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个实数根，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = - \frac{5}{2}$ ，求m的值．

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20. 已知关于x的一元二次方程x²－4x+m+1＝0有实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、如果方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，且 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \geq - 1$ ，求m的所有整数值的和．

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + c) x^{2} + 2 b x + (a - c) = 0$ ，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三边的长．

(1)、如果 $x = - 1$ 是方程的根，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、如果方程有两个相等的实数根，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(3)、如果 $△ A B C$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

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22. 阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂＝ $- \frac{b}{a}$ ，x₁x₂＝ $\frac{c}{a}$

材料2：已知一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m²n＋mn²的值．

解：∵一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，

∴m＋n＝1，mn＝－1，

则m²n＋mn²＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、材料理解：一元二次方程2x²－3x－1＝0的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂＝；x₁x₂＝．

(2)、类比应用：已知一元二次方程2x²－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．

(3)、思维拓展：已知实数s、t满足2s²－3s－1＝0，2t²－3t－1＝0，且s≠t，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

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