北师大版数学九年级上册同步练习——第二章《一元二次方程》 3 用公式法求解一元二次方程（2）

试卷更新日期：2023-07-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 根的判别式的值是（）

A、33 B、23 C、17 D、 $\sqrt{17}$

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2. 一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 根的情况为（　　）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、不能判定

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3. 下列关于x的方程一定有实数解的是（）

A、 $x^{2} + 1 = 0$ B、 $x^{2} - x + 1 = 0$ C、 $x^{2} - b x + 1 = 0$ （b为常数） D、 $x^{2} - b x - 1 = 0$ （b为常数）

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4. 若一元二次方程 $m x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有实数解，则m的取值范围是（）

A、 $m \geq - 1$ B、 $m \leq 1$ C、 $m \geq - 1$ 且 $m \neq 0$ D、 $m \leq 1$ 且 $m \neq 0$

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5. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
$①$ 若 $a + b + c = 0$ ，则方程必有一根为 $x = 1$ ；
$②$ 若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 无实根；
$③$ 若方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且满足 $x_{1} \neq x_{2} \neq 0$ ，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0 (c \neq 0)$ ，必有实根 $\frac{1}{x_{1}}$ ， $\frac{1}{x_{2}}$ ；
$④$ 若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = (2 a x_{0} + b)^{2}$ ．
其中正确的（）

A、 $① ②$ B、 $① ④$ C、 $② ③ ④$ D、 $① ③ ④$

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6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 2) x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \neq 2$ B、 $a \geq 1$ 且 $a \neq 2$ C、 $a > 1$ 且 $a \neq 2$ D、 $a > 1$

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7. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；③若 $c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = (2 a x_{0} + b)^{2}$ ；⑤存在实数 $m ， n (m \neq n)$ ，使得 $a m^{2} + b m + c = a n^{2} + b n + c$ ．
其中正确的（）

A、只有①②④ B、只有①②④⑤ C、①②③④⑤ D、只有①②③

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8. 已知关于x的方程 $(a - 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则a的取值范围是（）

A、 $a > 2$ B、 $a \leq 2$ C、 $a < 2$ 且 $a \neq 1$ D、 $a < - 2$

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二、填空题

9. 如果关于 $x$ 的方程 $x^{2} - x + k = 0$ （ $k$ 为常数）有两个相等的实数根，那么 $k =$ ．

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10. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的值可以是.（写出一个即可）

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11. 已知关于x的一元二次方程mx²﹣（m+2）x+2=0有两个不相等的实数根x₁ ， x₂ ，若x₂＜0，且 $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ ＞﹣1，则整数m的值为．

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12. 关于x的一元二次方程x²+4x+k=0有两个相等实数解，则方程的解为．

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13. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 4 c = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $c =$ （写出一个满足条件的值）．

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14. 如果关于x的一元二次方程x²－4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是．

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三、解答题

15. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + k - 2 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = - 1$ ，求k的值．

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16. 已知关于x的方程 $x^{2} - 2 (k - 3) x + k^{2} - 4 k - 1 = 0$ ．若这个方程有实数根，求k的取值范围．

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17. 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中 $a = 3 ， c = 5$ ，且关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + b = 0$ 有两个相等的实数根，判断△ABC的形状.

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18. 已知一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ．
①若方程两根为1和2，则 $2 a - c = 0$ ；

②若 $b = 2 a + c$ ，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根；

③若 $m$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $b^{2} - 4 a c = (2 a m + b)^{2}$ 成立．

判断以上说法是否正确，并说明理由．

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