（人教版）2023-2024学年九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数同步分层训练（培优卷）

试卷更新日期：2023-07-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边 $B C ， E F$ 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 $Δ A B C$ 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，正三角形ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(秒)，y=PC² ，则y关于x的函数的图象大致是（ )

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为4个单位，两动点 $P$ 、 $Q$ 分别从点 $A$ 、 $B$ 处，以1单位/ $s$ 、2单位/ $s$ 的速度逆时针沿边移动.记移动的时间为 $x (s)$ ， $△ P B Q$ 面积为 $y$ （平方单位），当点 $Q$ 移动一周又回到点 $B$ 终止，同时 $P$ 点也停止运动，则 $y$ 与 $x$ 的函数关系图象为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：（）

A、 B、 C、 D、

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5.
如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )

A、 $y = \frac{2}{25} x^{2}$ B、 $y = \frac{4}{25} x^{2}$ C、 $y = \frac{2}{5} x^{2}$ D、 $y = \frac{4}{5} x^{2}$

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6. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P₁（ $x_{1}$ ， $y_{1}$ ），P₂（ $x_{2}$ ， $y_{2}$ ）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P₁AB的面积为S₁ ， △P₂AB的面积为S₂。有下列结论：①当 $x_{1} > x_{2} + 2$ 时，S₁>S₂；②当 $x_{1} < 2 - x_{2}$ 时，S₁<S₂；③当 $| x_{1} - 2 | > | x_{2} - 2 | > 1$ 时，S₁>S₂；④当 $| x_{1} - 2 | > | x_{2} + 2 | > 1$ 时，S₁<S₂。其中正确结论的个数是

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，若抛物线y=x²-2x与x轴正半轴相交于点A，点P是y轴上一动点，过点P作直线l∥x轴，与抛物线相交于B，C两点(B在C的左侧)，过点C作CD⊥x轴于点D，连接AB、DP，若OC将四边形BADP的面积分成2：1的两部分，则OC的解析式为（）

A、y=x B、y=2x C、y=4x D、y=8x

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 9 0^{∘}$ ， $A B = 6 m m$ ， $B C = 12 m m$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $A B$ 向 $B$ 以 $2 m m / s$ 的速度移动（不与点 $B$ 重合），动点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $B C$ 向 $C$ 以 $4 m m / s$ 的速度移动（不与点 $C$ 重合）.如果 $P$ 、 $Q$ 分别从 $A$ 、 $B$ 同时出发，那么经过（）秒，四边形 $A P Q C$ 的面积最小.

A、0.5 B、1.5 C、3 D、4

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9. 某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（）

A、3元 B、4元 C、5元 D、8元

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10. 如图，四边形ABCD中，AB=AD ， CE⊥BD ， CE= $\frac{1}{2}$ BD ．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm²）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（）

A、 $S = \frac{1}{4} x^{2} - 10 x + 100$ B、 $S = 2 x^{2} - 40 x + 200$ C、 $S = x^{2} - 20 x + 100$ D、 $S = x^{2} + 20 x + 100$

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二、填空题

11. 如图所示，从高为2m的点 $A$ 处向右上抛一个小球 $P$ ，小球路线呈抛物线 $L$ 形状，小球水平经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶B处弹起，已知 $M N = 4$ m， $F M = D E = B C = 1.2$ m， $C D = E F = 1$ m，若小球弹起形成一条与 $L$ 形状相同的抛物线，且落点 $Q$ 与 $B$ ， $D$ 在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是m

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12. 如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A、B两点，交抛物线y＝ax²于点C(4，3)，且C是线段AB的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点P，过P的直线y＝k′x＋b′交坐标轴于D、E两点，且P恰好是线段DE的中点，若△AOB∽△DOE，则P点的坐标是.

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13. 如图，抛物线y＝﹣ $\frac{1}{3}$ （x+1）（x﹣9）与坐标轴交于A、B、C三点，D为顶点，连结AC，BC.点P是该抛物线在第一象限内上的一点.过点P作y轴的平行线交BC于点E，连结AP交BC于点F，则 $\frac{P F}{A F}$ 的最大值为.

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14. 已知抛物线 $y = a x^{2} + (3 a + \frac{4}{3}) x + 4$ 交x轴于点A，B (B在x轴正半轴上），交y轴于点C，△ABC是等腰三角形，则a的值为．

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15. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + m + 1$ （m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．

①抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + m + 1$ 与直线y=m+2有且只有一个交点；

②若点 $M (- 2 ， y_{1})$ 点 $N (\frac{1}{2} ， y_{2})$ 、点 $P (2 ， y_{3})$ 在该函数图象上，则 $y_{1} < y_{2} ∠ y_{3}$ ；

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为 $y = - {(x + 1)}^{2} + m$ ；

④点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为 $\sqrt{34} + \sqrt{2}$ ，其中正确判断的序号是

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三、解答题

16. 如图，已知二次函数y=x²+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．

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17. 为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m²的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m²），种草所需费用y₁（元）与x（m²）的函数关系式为 $y_{1} = {\begin{matrix} k_{1} x (0 \leq x < 600) \\ k_{2} x + b (600 \leq x \leq 1000) \end{matrix}$ ，其图象如图所示：栽花所需费用y₂（元）与x（m²）的函数关系式为y₂=﹣0.01x²﹣20x+30000（0≤x≤1000）．

(1)、请直接写出k₁、k₂和b的值；

(2)、设这块1000m²空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；

(3)、若种草部分的面积不少于700m² ，栽花部分的面积不少于100m² ，请求出绿化总费用W的最小值．

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18.
如图，在平面直角坐标系中，△CDE的顶点C点坐标为C（1，﹣2），点D的横坐标为 $\frac{19}{5}$ ，将△CDE绕点C旋转到△CBO，点D的对应点B在x轴的另一个交点为点A．
（1）图中，∠OCE等于多少；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点P，使S_△PAE= $\frac{1}{2}$ S_△CDE？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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19.
如图，二次函数y= $\frac{1}{2}$ x²+bx﹣ $\frac{3}{2}$ 的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）b的值及点D的坐标。
（2）线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1；
（3）在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

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四、综合题

20. 某某商店销售一种销售成本为 40 元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量 y(件）与当天的销售单价 x （元/件）满足一次函数关系，并且当 x =20 时，y=1000，当 x =25 时，y=950．

(1)、求出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(2)、求出每件售价多少元时，商店销售该商品每天能获得最大利润，最大利润是多少元；

(3)、如果该商店要使每天的销售利润不低于 13750 元，且每天的总成本不超过 20000 元，那么销售单价应控制在什么范围内？

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21. 定义：若函数 $y = x_{}^{2} + b x + c$ （c≠0）与 $x$ 轴的交点A，B的横坐标为 $x_{A}^{}$ ， $x_{B}^{}$ ，与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $y_{C}^{}$ ，若 $x_{A}^{}$ ， $x_{B}^{}$ 中至少存在一个值，满足 $x_{A}^{}$ ＝ $y_{C}^{}$ （或 $x_{B}^{}$ ＝ $y_{C}^{}$ ），则称该函数为友好函数．如图，函数 $y = x_{}^{2} + 2 x - 3$ 与 $x$ 轴的一个交点A的横坐标为-3，与y轴交点C的纵坐标为-3，满足 $x_{A}^{}$ ＝ $y_{C}^{}$ ，称 $y = x_{}^{2} + 2 x - 3$ 为友好函数．

(1)、判断 $y = x_{}^{2} - 5 x + 4$ 是否为友好函数，并说明理由；

(2)、请探究友好函数 $y = 2 x_{}^{2} + b x + c$ 表达式中的b与c之间的关系；

(3)、若 $y = 2 x_{}^{2} + b x + c$ 是友好函数，∠ACB为锐角，求c的取值范围．

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22. 如图，学校要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙（外墙足够长），其余三边用竹篱笆围成．其中 $A D \geq A B$ （即长不小于宽），设矩形的宽 $A B$ 的长为x米，矩形 $A B C D$ 面积为y平方米．

(1)、若矩形 $A B C D$ 的面积150平方米，求宽 $A B$ 的长；

(2)、求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)、矩形地块的宽为多少时，矩形 $A B C D$ 面积最大，并求出最大面积．

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23. 某公园对一块长 20m，宽10m的场地进行设计，方案如图所示．阴影区域为绿化区(四块全等的矩形)，空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x(m)，活动区面积为y(m)．

(1)、求y关于x的函数表达式：

(2)、当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？

(3)、若活动区布置成本为10元/m² ，绿化区布置成本为8元/m² ，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．

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（人教版）2023-2024学年九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数 同步分层训练（培优卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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