（人教版）2023-2024学年九年级数学上册22.2 二次函数与一元二次方程同步分层训练（提升卷）

试卷更新日期：2023-07-16 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $m > 0$ ，关于x的一元二次方程 $(x + 1) (x - 2) - m = 0$ 的解为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则下列结论正确的是( 　)

A、 $x_{1} < - 1 < 2 < x_{2}$ B、 $- 1 < x_{1} < 2 < x_{2}$ C、 $- 1 < x_{1} < x_{2} < 2$ D、 $x_{1} < - 1 < x_{2} < 2$

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2. 如图所示的是二次函数y=ax²+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax²+bx+c<0的解集是（）

A、-1<x<5 B、x>5 C、x<-1且x>5 D、x<-1或x>5

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3. 如表是二次函数 $y = a x^{2} + b x - 5$ 的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程 $a x^{2} + b x - 5 = 0$ 的一个根的取值范围是（）
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
-1
-0.49
0.04
0.59
1.16
…

A、 $1.1 ∼ 1.2$ B、 $1 ∼ 1.1$ C、 $1.2 ∼ 1.3$ D、 $1.3 ∼ 1.4$

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4. 由下表估算一元二次方程x²+12x＝15的一个根的范围，正确的是（）
x
1.0
1.1
1.2
1.3
x²+12x
13
14.41
15.84
17.29

A、1.0＜x＜1.1 B、1.1＜x＜1.2 C、1.2＜x＜1.3 D、14.41＜x＜15.84

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5. 已知二次函数 $y ＝ x^{2} ＋ 3 x - m$ （m为常数）的图像与x轴的一个公共点为（1，0），则关于x的一元二次方程 $x^{2} ＋ 3 x - m ＝ 0$ 的两实数根是（　　）

A、 $x_{1} ＝ 1 ， x_{2} ＝ - 4$ B、 $x_{1} ＝ 1 ， x_{2} ＝ 2$ C、 $x_{1} ＝ 1 ， x_{2} ＝ - 3$ D、 $x_{1} ＝ 1 ， x_{2} ＝ 3$

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6. 抛物线 $y = a x_{}^{2} + b x + c$ （a＜0）与x轴的一个交点坐标为（-1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图像如图所示，则一元二次方程 $a x_{}^{2} + b x + c = 0$ 的根是（）

A、 $x_{1}^{} = 0 ， x_{2}^{} = 3$ B、 $x_{1}^{} = - 1 ， x_{2}^{} = 0$ C、 $x_{1}^{} = - 1 ， x_{2}^{} = 1$ D、 $x_{1}^{} = - 1 ， x_{2}^{} = 3$

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7. 设一元二次方程 $(x + 1) (x - 3) = a (a > 0)$ 的两实数根分别为 $α$ ， $β$ 且 $α < β$ ，则 $α$ 、 $β$ 满足（）

A、 $- 1 < α < β < 3$ B、 $α < - 1 < 3 < β$ C、 $α < - 1 < β < 3$ D、 $- 1 < α < 3 < β$

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8. 如图，已知关于x的一元二次方程 $a (x - k)^{2} - 1 = 0$ 的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k的值可能是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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9. “如果二次函数y＝ax²+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣p）（x﹣q）＝0的两个根，且p＜q，则p，q，m，n的大小关系是（）

A、m＜p＜q＜n B、p＜m＜n＜q C、m＜p＜n＜q D、p＜m＜q＜n

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10. 已知关于 $x$ 的方程 $- x^{2} + b x = m$ 的两个根分别是 $x_{1} = - \frac{2}{3} ， x_{2} = \frac{14}{3}$ ，若 $A (- 2 ， y_{l}) ， B (3 ， y_{2})$ ， C $(2 ， y_{3})$ 是二次函数 $y = - x^{2} + b x + m$ 图象上的三点，则 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$

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二、填空题

11. 已知关于x的一元二次方程 $(x - 2) (x - 3) = m$ 有实根x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ，现有下列说法： ①当m=0时，x₁=2，x₂=3；②当m>0时，2＜x₁＜x₂＜3；③ $m > - \frac{1}{4}$ ；④二次函数 $y = (x - x_{1}) (x - x_{2}) - m$ 的图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（3，0）. 其中正确的有.

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12. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象过点 $A (- 1 ， 0)$ 且对称轴为直线 $x = 1$ ，则关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解为．

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13. 二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象如图，若一元二次方程 $a x^{2} + b x = m$ 有实数根，则 $m$ 的最小值为

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14. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的对称轴是直线 $x = - 1$ ，与x轴的一个交点为 $(- 5 ， 0)$ ，若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $x_{1} - x_{2}$ 的值为.

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15. 已知二次函数y＝﹣x²﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x²﹣2x+m＝0的解为．

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三、解答题

16. 已知二次函数 $y = x^{2} - m x + m - 2$ ．求证：不论 $m$ 为何实数，此二次函数的图象与 $x$ 轴都有两个不同交点．

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17. 由数形结合思想知：解方程可以看成是求两个函数交点的横坐标。例如：解方程2x+3=-x-6可看成是求直线y=2x+3和直线y=-x-6的交点横坐标。利用这一思想方法，借助函数图象，判断方程： $| x^{2} - 4 x + 3 | = 1$ 的实数根有几个。

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18. 已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象过点 $(- 1 ， 0)$ ，且对任意实数x，都有 $4 x - 12 \leq a x^{2} + b x + c \leq 2 x^{2} + 8 x + 6$ .二次函数与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是中二次函数图象上的动点.在x轴上存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.请求出所有满足条件的点N的坐标.

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19. 抛物线y=x²+2x+m与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围．

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四、综合题

20. 已知二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + 2$ ．
$x$
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
$y$
…
－6
－1
____
3
2
____
－6
…

(1)、填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；

(2)、根据表格结合函数图象，直接写出方程 $- x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．

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21. 已知二次函数解析式为 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + 3$ (m是常数)．

(1)、求证：不论m为何值，函数图象与x轴总是没有公共点；

(2)、把该函数图象沿平行y轴方向怎样平移，得到的图象与x轴只有一个交点？

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22. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + 2 m - 1$ ．

(1)、求证：二次函数的图象与x轴总有交点；

(2)、若二次函数的图象与x轴的一个交点为原点，求方程 $x^{2} - 2 m x + 2 m - 1 = 0$ 的解．

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23. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 经过点（1，-1），（-2，17）.

(1)、求a，b的值

(2)、若（3，y₁），（m，y₂）是抛物线上不同的两点，且y₂=y₁+8，求m的值.

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x	…	1	1.1	1.2	1.3	1.4	…
y	…	-1	-0.49	0.04	0.59	1.16	…

x	1.0	1.1	1.2	1.3
x²+12x	13	14.41	15.84	17.29

$x$	…	－4	－3	－2	－1	0	1	2	…
$y$	…	－6	－1	____	3	2	____	－6	…

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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