2023年高考数学真题分类汇编1：集合、逻辑用语、函数、初等函数

试卷更新日期：2023-07-15 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 若 $f (x) = (x - 1)^{2} + a x + s i n (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数，则 $a =$ ．

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2. 若 $y = (x - 1)^{2} + a x + s i n (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数，则 $a =$ ．

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3. 若函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x - | x^{2} - a x + 1 |$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为．

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4. 设 $a \in (0 ， 1)$ ，若函数 $f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{x}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则a的取值范围是.

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5. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x > 0 \\ 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (x)$ 的值域是；

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6. 已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.

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二、选择题

7. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $M = {1 ， 4} ， N = {2 ， 5}$ ，则 $N ∪ ∁_{U} M =$ （）

A、 ${2 ， 3 ， 5}$ B、 ${1 ， 3 ， 4}$ C、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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8. 设集合 $A = {x ∣ x = 3 k + 1 ， k \in Z} ， B = {x ∣ x = 3 k + 2 ， k \in Z}$ ， U为整数集， $∁_{U} (A ∪ B) =$ （）

A、 ${x | x = 3 k ， k \in Z}$ B、 ${x ∣ x = 3 k - 1 ， k \in Z}$ C、 ${x ∣ x = 3 k - 2 ， k \in Z}$ D、 $\emptyset$

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9. 已知函数 $f (x) = e^{- (x - 1)^{2}}$ ．记 $a = f (\frac{\sqrt{2}}{2}) ， b = f (\frac{\sqrt{3}}{2}) ， c = f (\frac{\sqrt{6}}{2})$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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10. “ $s i n^{2} α + s i n^{2} β = 1$ ”是“ $s i n α + c o s β = 0$ ”的（）

A、充分条件但不是必要条件 B、必要条件但不是充分条件 C、充要条件 D、既不是充分条件也不是必要条件

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11. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A = {1 ， 3} ， B = {1 ， 2 ， 4}$ ，则 $∁_{U} B ∪ A =$ （）

A、 ${1 ， 3 ， 5}$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${1 ， 2 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5}$

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12. “ $a^{2} = b^{2}$ ”是“ $a^{2} + b^{2} = 2 a b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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13. 若 $a = 1.0 1^{0.5} ， b = 1.0 1^{0.6} ， c = 0 . 6^{0.5}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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14. 函数 $f (x)$ 的图象如下图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $\frac{5 (e^{x} - e^{- x})}{x^{2} + 2}$ B、 $\frac{5 s i n x}{x^{2} + 1}$ C、 $\frac{5 (e^{x} + e^{- x})}{x^{2} + 2}$ D、 $\frac{5 c o s x}{x^{2} + 1}$

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15. 设集合 $U = R$ ，集合 $M = {x | x < 1}$ ， $N = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 ${x | x \geq 2} =$ （）

A、 $∁_{U} (M ∪ N)$ B、 $N ∪ ∁_{U} M$ C、 $∁_{U} (M ∩ N)$ D、 $M \cup ∁_{U} N$

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16. 已知 $f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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17. 函数 $f (x) = x^{3} + a x + 2$ 存在3个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\begin{array}{l} - \infty ， - 2 \end{array})$ B、 $(- \infty ， - 3)$ C、 $(- 4 ， - 1)$ D、 $(- 3 ， 0)$

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18. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8}$ ，集合 $M = {0 ， 4 ， 6} ， N = {0 ， 1 ， 6}$ ，则 $M \cup ∁_{U} N =$ （）

A、 ${0 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8}$ B、 ${0 ， 1 ， 4 ， 6 ， 8}$ C、 ${1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8}$ D、 $U$

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19. 在平面上，若曲线 $Γ$ 具有如下性质：存在点 $M$ ，使得对于任意点 $P \in Γ$ ，都有 $Q \in Γ$ 使得 $| P M | \cdot | Q M | = 1$ .则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假（）.

(1)、所有椭圆都是“自相关曲线".(2)存在双曲线是“自相关曲线”.

A、(1)假命题；(2)真命题 B、(1)真命题；(2)假命题 C、(1)真命题；(2)真命题 D、(1)假命题；(2)假命题

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20. 已知 $P = {1 ， 2} ， Q = {2 ， 3}$ ，若 $M = {x ∣ x \in P$ 且 $x \notin Q}$ ，则 $M =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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21. 设集合 $A = {0 ， - a} ， B = {1 ， a - 2 ， 2 a - 2}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、-1

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22. 若 $f (x) = (x + a) l n \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ 为偶函数，则a=（）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

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23. 已知集合M={−2，−1，0，1，2}，N={x|x²−x−6⩾0}，则M∩N=（）

A、{−2，−1，0，1} B、{0，1，2} C、{−2} D、{2}

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24. 设函数 $f (x) = 2^{x (x - a)}$ 在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是（）

A、(−∞，−2] B、[−2，0) C、(0，2] D、[2，+∞)

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25. 噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

L_{p} =

20 \times l g \frac{p}{p_{0}}

，其中常数

p_{0} (p_{0} > 0)

是听觉下限间值，

p

是实际声压. 下表为不同声源的声压级：

声源	与声源的距离/m	声压级/dB
燃油汽车	10	60~90
混合动力汽车	10	50～60
电动汽车	10	40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 $10 m$ 处测得实际声压分别为 $p_{1} ， p_{2} ， p_{3}$ ，则（）

A、

p_{1} ⩾ p_{2}

B、

p_{2} > 10 p_{3}

C、

p_{3} = 100 p_{0}

D、

p_{1} ⩽ 100 p_{2}

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26. 已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y²f(x)+x²f(y)，则（）

A、f(0)=0 B、f(1)=0 C、f(x)是偶函数 D、x=0为f(x)的极小值点

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三、解答题

27. 已知 $f (x) = a x - \frac{s i n x}{c o s^{3} x} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$

(1)、若 $a = 8$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) < s i n 2 x$ 恒成立，求a的取值范围．

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28. 已知 $f (x) = 2 | x - a | - a ， a > 0$ ．

(1)、解不等式 $f (x) < x$

(2)、若 $y = f (x)$ 与坐标轴围成的面积为2，求a．

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29. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} + (3 a + 1) x + c}{x + a} (a ， c \in R)$

(1)、当 $a = 0$ 是，是否存在实数 $c$ ，使得 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、函数 $f (x)$ 的图像过点 $(1 ， 3)$ ，且 $f (x)$ 的图像与 $x$ 轴负半轴有两个交点，求实数 $a$ 的取值范围.

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30. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 2 l n a + \frac{3}{2}$ .

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