（人教版）2023-2024学年九年级数学上册21.3 实际问题与一元二次方程同步分层训练（培优卷）

试卷更新日期：2023-07-15 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列命题：① 若b＝a＋c时，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有实数根；② 若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 也一定有两个不相等实数根；③ 若二次函数 $y = a x^{2} + c$ ，当取 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ）时，函数值相等，则当x取 $x_{1} + x_{2}$ 时函数值为0；④ 若 $b^{2} - 4 a c > 0$ ，则二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是1，3，4中的任意一个数（ $a$ ， $b$ ， $c$ 互不相等），当方程 $a x^{2} - b x + c = 0$ 的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（）

A、轴对称图形 B、中心对称图形 C、轴对称图形或中心对称图形 D、非轴对称图形或中心对称图形

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3. 已知关于x的一元四次方程x⁴+px²+qx+r=0有三个相等的实根和另一个与之不同的实根，则下列三个命题中真命题有（　　）个

①p+q=r可能成立；②p+r=q可能成立；③q+r=p可能成立．

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m² ．若设道路的宽为 $x m$ ，则下面所列方程正确的是（）

A、 $(32 - x) (20 - x) = 32 \times 20 - 570$ B、 $32 x + 2 \times 20 x = 32 \times 20 - 570$ C、 $32 x + 2 \times 20 x - 2 x^{2} = 570$ D、 $(32 - 2 x) (20 - x) = 570$

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5. 某班同学毕业时都将自己的照斤问全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2970张照片，如果设全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）

A、x（x+1）=2970 B、x（x-1）=2×2970 C、x（x-1）=2970 D、2x（x+1）=2970

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6. 如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形ABCD ，让同学们按以下步骤完成画图：
⑴画出AD的中点E ，连接BE；

⑵以点E为圆心，EB长为半径画弧，交DA的延长线于点F；

⑶以AF为边画正方形AFGH ，点H在AB边上．在画出的图中有一条线段的长是方程x²+2x﹣4＝0的一个根．这条线段是（）

A、线段BH B、线段BE C、线段AE D、线段AH

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7. 一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送出贺卡56张，设这个小组有x人，则（）

A、 $\frac{1}{2} x (x - 1)$ =56 B、 $\frac{1}{2} x (x + 1)$ =56 C、x（x﹣1）＝56 D、x（x+1）＝56

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8. 2021年是中国共产党成立100周年，山西某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党”说句心里话征集活动，学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又分别邀请n个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有1641人参与了传递活动，则方程列为（）

A、 ${(1 + n)}^{2} = 1641$ B、 $1 + (n + 1) + {(n + 1)}^{2} = 1641$ C、 $n + n^{2} = 1641$ D、 $1 + n + n^{2} = 1641$

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9. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1980张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）

A、 $x (x + 1) = 1980$ B、 $x (x - 1) = 1980$ C、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 1980$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 1980$

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10. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了关于一元二次方程的几何解法.以方程 $x^{2} + 5 x - 14 = 0$ 即 $x (x + 5) = 14$ 为例：构造图1中四个小矩形的面积各为14，大正方形的面积是 ${(x + x + 5)}^{2}$ ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $4 \times 14 + 5^{2}$ ，可得 $x = 2$ ，那么对于一元二次方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 可以构造图2来解，已知图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a，b分别是（　　）

A、 $a = 2$ ， $b = - 3$ B、 $a = \pm 2$ ， $b = - 3$ C、 $a = 3$ ， $b = - 2$ D、 $a = \pm 3$ ， $b = - 2$

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二、填空题

11. 定义：关于x的方程 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} = 0$ （a₁≠0）与 $a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} = 0$ （a₂≠0），如果满足a₁+a₂＝0，b₁＝b₂ ， c₁+c₂＝0，则称这两个方程互为“对称方程”．若关于x的方程 $3 x^{2} + (m^{2} - 2 m + 3) x - 4 = 0$ 与 $- 3 x^{2} + 2 x + n = 0$ 互为“对称方程”，则 $(m - n)^{2}$ 的值为．

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12. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，点P从点A开始沿AB向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，秒后△PBQ的面积等于8cm² ．

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13. 已知 $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 1) = 12$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值是．

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14. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为 $2 m$ ，设雕像下部高为 $x m$ ，则可得到方程．

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15. 某足球比赛，要求每两支球队之间都要比赛一场，若共比赛 $45$ 场，则有支球队参加比赛.

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三、解答题

16. 如图，⊙O的直径AB=2，AM、BN是它的两条切线，CD与⊙O相切于点E，与BN、AM交于点C、D，设AD=x，BC=y。

(1)、求证：AM∥BN。

(2)、求y关于x的函数关系式。

(3)、若x、y是关于t的方程2t $^{2}$ -5t+m=0的两根，且xy= $\frac{m}{2}$ ，求x、y的值。

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17. 已知：当x=2时，二次三项式x²﹣2mx+4的值等于﹣4.当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？

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18. 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）

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19. 某商场购进了一批单价为100元的名牌衬衫，当销售价为150元时，平均每天可售出20件，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫单价每降价1元，商场平均每天可多售出4件，另外，这批衬衫平均每天要扣除其它成本50元，若商场平均每天盈利2 750元，衬衫单价应定为多少元？

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四、综合题

20.

(1)、【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排 $4$ 场比赛．
①共有场比赛；
②设比赛组织者应邀请 $x$ 个队参赛，每个队要与其他个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛场，列方程：．

(2)、【小试牛刀】
参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人参加聚会？

(3)、【综合运用】
将 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， ……， $A_{n}$ ，共 $n$ 个点每两个点连一条线段共得到 $y_{1}$ 条线段，将 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， ……， $B_{2 n}$ ．共 $2 n$ 个点每两个点连一条线段共得到 $y_{2}$ 条线段，问 $\frac{y_{2}}{y_{1}}$ 能否为整数？写出你的结论，并说明理由．

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21. 某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 $A$ 、 $B$ ，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程 $l (cm)$ 与时间 $t (s)$ 满足关系 $l = t^{2} + 3 t (t \geq 0)$ ，乙以 $8 cm / s$ 的速度匀速运动，半圆的长度为 $42 cm$ ．

(1)、甲运动 $4 s$ 后的路程是多少?

(2)、甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间?

(3)、甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间?

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22. 已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．

(1)、当x≥50时，求y关于x的函数关系式；

(2)、若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；

(3)、为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收 $\frac{x}{20}$ 元，若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．

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23. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．

(1)、求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

(2)、若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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