河北省2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-14 类型：中考真卷

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一、选择题

1. 代数式 $- 7 x$ 的意义可以是（）

A、 $- 7$ 与x的和 B、 $- 7$ 与x的差 C、 $- 7$ 与x的积 D、 $- 7$ 与x的商

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2. 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西 $70 °$ 的方向，则淇淇家位于西柏坡的（）

A、南偏西 $70 °$ 方向 B、南偏东 $20 °$ 方向 C、北偏西 $20 °$ 方向 D、北偏东 $70 °$ 方向

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3. 化简 $x^{3} {(\frac{y^{3}}{x})}^{2}$ 的结果是（）

A、 $x y^{6}$ B、 $x y^{5}$ C、 $x^{2} y^{5}$ D、 $x^{2} y^{6}$

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4. 1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 四边形 $A B C D$ 的边长如图所示，对角线 $A C$ 的长度随四边形形状的改变而变化．当 $△ A B C$ 为等腰三角形时，对角线 $A C$ 的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 若k为任意整数，则 $(2 k + 3)^{2} - 4 k^{2}$ 的值总能（）

A、被2整除 B、被3整除 C、被5整除 D、被7整除

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7. 若 $a = \sqrt{2} ， b = \sqrt{7}$ ，则 $\sqrt{\frac{14 a^{2}}{b^{2}}} =$ （）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 综合实践课上，嘉嘉画出 $△ A B D$ ，利用尺规作图找一点C，使得四边形 $A B C D$ 为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
（1）作 $B D$ 的垂直平分线交 $B D$ 于点O；

（2）连接 $A O$ ，在 $A O$ 的延长线上截取 $O C = A O$ ；

（3）连接 $D C$ ， $B C$ ，则四边形 $A B C D$ 即为所求．

在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）

A、两组对边分别平行 B、两组对边分别相等 C、对角线互相平分 D、一组对边平行且相等

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9. 如图，点 $P_{1} ~ P_{8}$ 是 $⊙ O$ 的八等分点．若 $△ P_{1} P_{3} P_{7}$ ，四边形 $P_{3} P_{4} P_{6} P_{7}$ 的周长分别为a，b，则下列正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a = b$ C、 $a > b$ D、a，b大小无法比较

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10. 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于 $9.46 \times 1 0^{12} k m$ ．下列正确的是（）

A、 $9.46 \times 1 0^{12} - 10 = 9.46 \times 1 0^{11}$ B、 $9.46 \times 1 0^{12} - 0.46 = 9 \times 1 0^{12}$ C、 $9.46 \times 1 0^{12}$ 是一个12位数 D、 $9.46 \times 1 0^{12}$ 是一个13位数

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = 4$ ，点M是斜边 $B C$ 的中点，以 $A M$ 为边作正方形 $A M E F$ ，若 ${S_{正方形}}_{A M E F} = 16$ ，则 $S_{△ A B C} =$ （）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、12 D、16

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12. 如图1，一个2×2平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至还需再放这样的正方体（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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13. 在 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $∠ B = ∠ B^{'} = 30 ° ， A B = A^{'} B^{'} = 6 ， A C = A^{'} C^{'} = 4$ ．已知 $∠ C = n °$ ，则 $∠ C^{'} =$ （）

A、 $30 °$ B、 $n °$ C、 $n °$ 或 $180 ° - n °$ D、 $30 °$ 或 $150 °$

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14. 如图是一种轨道示意图，其中 $A D C$ 和 $A B C$ 均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且 $A M = C N$ ．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为 $M \to A \to D \to C \to N$ 和 $N \to C \to B \to A \to M$ ．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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15. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，菱形 $A B C D$ 和等边 $△ E F G$ 在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间，点A，F分别在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 上，点B，D，E，G在同一直线上：若 $∠ α = 50 °$ ， $∠ A D E = 146 °$ ，则 $∠ β =$ （）

A、 $42 °$ B、 $43 °$ C、 $44 °$ D、 $45 °$

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16. 已知二次函数 $y = - x^{2} + m^{2} x$ 和 $y = x^{2} - m^{2}$ （m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）

A、2 B、 $m^{2}$ C、4 D、 $2 m^{2}$

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二、填空题

17. 如图，已知点 $A (3 ， 3) ， B (3 ， 1)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图像的一支与线段 $A B$ 有交点，写出一个符合条件的k的数值：．

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18. 根据下表中的数据，写出a的值为． b的值为．
x
结果
代数式
2
n
          $3 x + 1$
7
b
          $\frac{2 x + 1}{x}$
a
1

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19. 将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中

(1)、 $∠ α =$ 度．

(2)、中间正六边形的中心到直线l的距离为（结果保留根号）．

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三、解答题

20. 某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
投中位置
A区
B区
脱靶
一次计分（分）
3
1
$- 2$
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．

(1)、求珍珍第一局的得分；

(2)、第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．

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21. 现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示 $(a > 1)$ ．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ．

(1)、请用含a的式子分别表示 $S_{1} ， S_{2}$ ；当 $a = 2$ 时，求 $S_{1} + S_{2}$ 的值；

(2)、比较 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小，并说明理由．

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22. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．

(1)、求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；

(2)、监督人员从余下问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于 $3.55$ 分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？

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23. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点 $A (6 ， 1)$ 处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线 $C_{1} ： y = a (x - 3)^{2} + 2$ 的一部分，淇淇恰在点 $B (0 ， c)$ 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 $C_{2} ： y = - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{n}{8} x + c + 1$ 的一部分．

(1)、写出 $C_{1}$ 的最高点坐标，并求a，c的值；

(2)、若嘉嘉在x轴上方 $1 m$ 的高度上，且到点A水平距离不超过 $1 m$ 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．

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24. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以 $A B$ 为直径的半圆 $O$ ， $A B = 50 c m$ ，如图1和图2所示， $M N$ 为水面截线， $G H$ 为台面截线， $M N ∥ G H$ ．
计算：在图1中，已知 $M N = 48 c m$ ，作 $O C ⊥ M N$ 于点 $C$ ．

(1)、求 $O C$ 的长．

(2)、操作：将图1中的水面沿 $G H$ 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当 $∠ A N M = 30 °$ 时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为 $Q$ ， $G H$ 与半圆的切点为 $E$ ，连接 $O E$ 交 $M N$ 于点 $D$ ．
探究：在图2中
操作后水面高度下降了多少？

(3)、连接OQ并延长交GH于点F，求线段 $E F$ 与 $\overset{⌢}{E Q}$ 的长度，并比较大小．

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25. 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点 $(x ， y)$ 移动到点 $(x + 2 ， y + 1)$ 称为一次甲方式：从点 $(x ， y)$ 移动到点 $(x + 1 ， y + 2)$ 称为一次乙方式．
例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点 $M (4 ， 2)$ ；若都按乙方式，最终移动到点 $N (2 ， 4)$ ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点 $E (3 ， 3)$ ．

(1)、设直线 $l_{1}$ 经过上例中的点 $M ， N$ ，求 $l_{1}$ 的解析式；并直接写出将 $l_{1}$ 向上平移9个单位长度得到的直线 $l_{2}$ 的解析式；

(2)、点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点 $Q (x ， y)$ ．其中，按甲方式移动了m次．
①用含m的式子分别表示 $x ， y$ ；

②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为 $l_{3}$ ，在图中直接画出 $l_{3}$ 的图象；

(3)、在（1）和（2）中的直线 $l_{1} ， l_{2} ， l_{3}$ 上分别有一个动点 $A ， B ， C$ ，横坐标依次为 $a ， b ， c$ ，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．

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26. 如图1和图2，平面上，四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8 ， B C = 2 \sqrt{11} ， C D = 12 ， D A = 6 ， ∠ A = 90 °$ ，点 $M$ 在 $A D$ 边上，且 $D M = 2$ ．将线段 $M A$ 绕点 $M$ 顺时针旋转 $n ° (0 < n \leq 180)$ 到 $M A^{'} ， ∠ A^{'} M A$ 的平分线 $M P$ 所在直线交折线 $A B — B C$ 于点 $P$ ，设点 $P$ 在该折线上运动的路径长为 $x (x > 0)$ ，连接 $A^{'} P$ ．

(1)、若点 $P$ 在 $A B$ 上，求证： $A^{'} P = A P$ ；

(2)、如图2．连接 $B D$ ．
①求 $∠ C B D$ 的度数，并直接写出当 $n = 180$ 时， $x$ 的值；

②若点 $P$ 到 $B D$ 的距离为 $2$ ，求 $t a n ∠ A^{'} M P$ 的值；

(3)、当 $0 < x \leq 8$ 时，请直接写出点 $A^{'}$ 到直线 $A B$ 的距离．（用含 $x$ 的式子表示）

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投中位置	A区	B区	脱靶
一次计分（分）	3	1	$- 2$