黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2022-2023学年八年级下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-07-14 类型：期末考试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列式子一定是二次根式是（）

A、 $\sqrt{- 4}$ B、 $π$ C、 $\sqrt[3]{a}$ D、 $\sqrt{7}$

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2. 计算： $- \sqrt{2} \times \sqrt{7} =$ （）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $- \sqrt{14}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $- 2 \sqrt{7}$

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3. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ B = 2 ∠ A$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $45 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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4. 下列函数是正比例函数的是（）

A、 $y = \frac{x}{3}$ B、 $y = \frac{3}{x}$ C、 $y = x^{2} + 1$ D、 $y = 3 x + 1$

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5. 一组数据：3，4，5，6，6的中位数是（

A、4 B、4.5 C、5 D、6

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6. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1， $△ A B C$ 的顶点 $A 、 B 、 C$ 均在网格的格点上， $B D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A B = 10$ ，点 $D$ 为斜边 $A B$ 上的中点，则 $C D$ 为（）

A、10 B、3 C、5 D、4

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8. 一组数据的方差为 $S^{2}$ ，如果把这组数据中的每个数据都扩大为原来的3倍，那么所得到的一组新数据的方差为（）

A、 $\frac{S^{2}}{3}$ B、 $S^{2}$ C、 $3 S^{2}$ D、 $9 S^{2}$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的边长为1， $A D$ 边的中点处有一动点 $P$ ，动点 $P$ 沿 $P \to A \to B \to C \to D \to P$ 运动一周，则点 $P$ 的纵坐标 $y$ 与点 $P$ 走过的路程 $S$ 之间的函数关系用图象表示大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，且 $B E ⊥ A C$ 于点E，与 $C D$ 交于点F，H是 $B C$ 的中点，连接 $D H$ ，与 $B E$ 交于点G.有下列结论：① $△ A B C$ 是等腰三角形；② $A D = F D$ ；③ $B H ： B D ： B C = 1 ： \sqrt{2} ： \sqrt{3}$ ；④ $S_{四边形 A D G E} = S_{四边形 G H C E}$ ，其中，正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每通3分，共30分）

11. 化简 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 的结果为

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12. 函数 $y = \frac{\sqrt{2 - x}}{x - 1}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是．

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13. 计算 $(2 \sqrt{3} - 2)^{2}$ 的结果等于．

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14. 如图， $△ A B C$ 中 $A C = 6 ， B C = 8 ， A B = 10 ， A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线， $C D =$ ．

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15. 已知甲、乙两支篮球队的人数相同，且平均身高都是 $1.86 m$ ，身高的方差分别是 $S_{甲}^{2} = 0.16$ ， $S_{乙}^{2} = 0.11$ ，则身高比较整齐的篮球队是．（填“甲”或“乙”）

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16. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E，F是对角线 $B D$ 上的两点，请添加一个条件，使四边形 $A F C E$ 是平行四边形（填一个即可）

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17. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，若 $P$ 为对角线 $B D$ 上一动点，则 $E P + A P$ 的最小值为.

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18. 平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x$ 上有一点A，已知点A的横坐标等于2，经过点A的直线 $A C$ 与 $x$ 轴夹角等于 $45 °$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，则 $C$ 点坐标为

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19. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10 ， B C = 12 ， M$ 是 $A B$ 边上的中点， $N$ 是 $B C$ 边上的一动点．连接 $M N$ ，特 $△ B M N$ 沿 $M N$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $E$ ，连接 $E C$ ．当 $△ E N C$ 为直角三角形时， $B N$ 的长为．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l ： y = x + 2$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $A_{1}$ ，且 $A_{2} ， A_{3} ， ⋯$ 在直线 $l$ 上，点 $B_{1} ， B_{2} ， B_{3} ⋯$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $△ A_{1} O B_{1} ， △ A_{2} B_{1} B_{2} ， △ A_{3} B_{2} B_{3} ， \cdot \cdot \cdot$ ，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在 $x$ 轴上，则点 $B_{6}$ 的横坐标为．

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三、解答题（共60分）

21. 计算： $\sqrt{2} \times \sqrt{6} + | 2 - \sqrt{3} | - {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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22. 为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h，精确 $1 h$ ），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下而两幅不完整的统计图。
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)、求出扇形统计图中百分数a的值为，所抽查的学生人数为．

(2)、求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全条形图．

(3)、求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数．

(4)、如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（（少于8小时）的学生数．

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23. 计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）．

A地
B地
甲厂
7
10
乙厂
10
15

(1)、用含x的式子直接填空：甲厂运往B地台，乙厂运往A地台，乙厂运往B地台．

(2)、请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？

(3)、因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了 $2 m$ 百元，其它不变，若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出m的取值范围。

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24. 小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了 $1 h$ ，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早 $40 m i n$ 到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（m）与所用时间t（min）之间的关系图像如图所示，请结合图像信息解答下列问题：

(1)、 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、求出姐姐从家出发直到返回家的过程中，姐姐离家的距离 $y_{1}$ 与时间t之间的关系式；

(3)、在姐姐去体育场的过程中，直接写出t为何值时，两人相距 $400 m$ ．

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25. 综合与实践

(1)、如图1，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $O$ 又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形 $O E B F$ 为两个正方形重叠部分．正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 可绕点 $O$ 转动．则下列结论正确的是（填序号即可）．
① $△ A E O ≌ △ B F O$ ；② $O E = O F$ ；③四边形 $O E B F$ 的面积总等于 $\frac{1}{4} S_{正方形 A B C D}$ ；④连接 $E F$ ，总有 $A E^{2} + C F^{2} = E F^{2}$ ．

(2)、如图2，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 中点 $O$ 是矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点， $A_{1} O$ 与边 $A B$ 相文于点 $E ， C_{1} O$ 与边 $C B$ 相交于点 $F$ ，连接 $E F$ ，矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 可绕着点 $O$ 旋转．
①猜想 $A E ， C F ， E F$ 之间的数量关系，并进行证明；
②直接写出线段 $A E 、 C F 、 B E 、 B F$ 之间的数量关系为 ▲ ．

(3)、如图3，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 3 c m ， B C = 4 c m$ ，直角 $∠ E D F$ 的顶点 $D$ 在边 $A B$ 的中点处，它的两条边 $D E$ 和 $D F$ 分别与直线 $A C ， B C$ 相交于点 $E ， F ， ∠ E D F$ 可绕着点 $D$ 旋转，当 $A E = 2 c m$ 时，线段 $E F$ 的长度为 $c m$ ．

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26. 综合与探索
【探索发现】如图1，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C B = C A$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ l$ 交于点 $D$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ l$ 交于点 $E$ ，易得 $△ A D C ≌ △ C E B$ ，我们称这种全等模型为“ $k$ 型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，真线 $l_{1} ： y = 2 x + 4$ 分别与 $y$ 轴， $x$ 轴交于点 $A 、 B$ ，

(1)、直接写出 $O A =$ ， $O B =$ ；

(2)、在第二象限构造等腰直角 $△ A B E$ ，使得 $∠ B A E = 90 °$ ，则点 $E$ 的坐标为；

(3)、如图3，将直线 $l_{1}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ 得到 $l_{2}$ ，求 $l_{2}$ 的函数表达式；

(4)、【拓展应用】
如图4，直线 $A B ： y = 2 x + 8$ 分别交 $x$ 轴和 $y$ 轴于 $A ， B$ 两点，点 $C$ 在第二象限内一点，在平面内是否存在一点 $D$ ，使以 $A 、 B 、 C 、 D$ 为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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	A地	B地
甲厂	7	10
乙厂	10	15