江苏省南京市玄武区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-13 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。）

1. 下列计算结果为 $a^{6}$ 的是（）

A、 $a^{3} + a^{3}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3}$ C、 ${(- a^{3})}^{2}$ D、 $a^{6} \div a$

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2. 关于 $x 、 \dot{y}$ 的二元一次方程 $2 x - k y = 5$ 的一个解是 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \end{array}$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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3. 若 $a > b$ ，则下列不等式不成立的是（）

A、 $a + 3 > b + 3$ B、 $2 a > 2 b$ C、 $1 - a > 1 - b$ D、 $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 6 0^{∘}$ ，过点 $A$ 的直线 $E F ∥ B C$ ，若 $∠ E A B = 2 ∠ F A C$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 0^{∘}$ C、 $5 0^{∘}$ D、 $6 0^{∘}$

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5. 从 $A$ 地到 $B$ 地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为 $4 k m / h$ ，平路速度为 $5 k m / h$ ，下坡速度为 $6 k m / h$ ．已知他从 $A$ 地到 $B$ 地需用 $35 m i n$ ，从 $B$ 地返回 $A$ 地需用24min．问从 $A$ 地到 $B$ 地全程是多少千米？我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数 $x$ 、 $y$ ，且列出一个方程为 $\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = \frac{35}{60}$ ，则另一个方程是（）

A、 $\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = \frac{24}{60}$ B、 $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = \frac{24}{60}$ C、 $\frac{x}{5} + \frac{y}{6} = \frac{24}{60}$ D、 $\frac{x}{6} + \frac{y}{5} = \frac{24}{60}$

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6. 如图， $△ A B C$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 外一点（点 $P$ 不在直线 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 上），连接 $P B$ 、 $P C$ ．若 $∠ P B A = α$ ， $∠ P C A = β$ ， $∠ B A C = γ$ ，对于① $α + γ - β$ ；② $α - β - γ ；$ ；③ $β - α - γ$ ；④ $36 0^{∘} -$ $α - β - γ$ ，则 $∠ B P C$ 的度数可能是（）

A、①④ B、②③④ C、①②③ D、①②③④

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二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）

7. 近来中国芯片技术获得重大突破， $7 n m$ 芯片已经量产，已知 $7 n m = 0.0000007 c m$ ，将数据0.0000007用科学记数法表示为．

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8. 分解因式 $m^{3} - 4 m$ 的结果是

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9. 如图，直线 $c$ 与 $a 、 b$ 相交， $∠ 1 = 4 5^{∘}$ ， $∠ 2 = 7 0^{∘}$ ，要使直线 $a$ 与 $b$ 平行，则直线 $a$ 绕点 $O$ 顺时针旋转的角度至少是°．

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10. 若 $3^{x} = 2$ ， $9^{y} = 5$ ，则 $3^{3 x - 2 y} =$ ．

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11. 若一个多边形的每一个外角都为 $4 5^{∘}$ ，则这个多边形的内角和是．

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12. 如图，将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 方向平移至 $△ D E F$ 的位置，若 $△ A B C$ 的面积是 $5 c m^{2}$ ，平移的距离是 $B C$ 的2倍，则四边形 $A C E D$ 的面积为 $c m^{2}$ ．

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13. 由方程组 ${\begin{array}{l} x + a = 3 ， \\ y - 2 = a ， \end{array}$ 可得 $y =$ ．（用只含x的代数式表示）

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14. 已知关于 $x$ 的不等式 $2 x - m + 1 < 0$ 的正整数解有且只有2个，则 $m$ 的取值范围为．

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15. 如图，将一副三角板的直角顶点 $A$ 重合，则下列结论：①如果 $∠ 2 = 3 0^{∘}$ ，则 $A D / / C B$ ；② $∠ 2 + ∠ C A D = 18 0^{∘}$ ；③如果 $D E ∥ A C$ ，则 $∠ 2 = 6 0^{∘}$ ；④如果 $∠ C A D = 15 0^{∘}$ ，则 $∠ 4 =$ $∠ D$ ；其中所有正确的结论序号有．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D 、 E$ 分别在 $A B 、 B C$ 上， $B D = 3 A D$ ， $E C = 2 B E$ ， $A E$ 、 $C D$ 相交于点 $O$ ．若 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，则四边形 $B E O D$ 的面积是．（用含 $S$ 的代数式表示）

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三、解答题（本大题共68分．）

17. 计算：

(1)、 $(3 - π)^{0} + {(- \frac{1}{3})}^{- 3} + {(- 3)}^{3} \div {(- 3)}^{2}$ ；

(2)、 $(x - 2)^{2} - (x - 1) (x + 3)$ .

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18. 分解因式：

(1)、 $m^{2} (a - b) + n^{2} (b - a)$ ；

(2)、 $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ ．

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19. 解方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 5 ， \\ 2 x + y = - 2 . \end{array}$

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20. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (2 - x) > 2 + x ， \\ \frac{x}{2} \leq \frac{2 x - 1}{3} + 1 ， \end{array}$ 并把解集在数轴上表示出．

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21. 请把下面的证明过程补充完整．
已知：如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高，点 $E$ 在 $A C$ 上， $G$ 在 $A B$ 上， $∠ 2 + ∠ C = 9 0^{∘}$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．

求证： $G D ∥ A C$ ．

证明：∵ $A D$ 是 $△ A B C$ 的高．

∴ $A D ⊥ B C$ （三角形高线的定义）．

∴ $∠ A D C = 9 0^{∘}$ （）．

∴ $∠ 3 + ∠ C = 9 0^{∘}$ （直角三角形两个锐角互余），

又∵ $∠ 2 + ∠ C = 9 0^{∘}$ （已知），

∴ ▲ （）．

又∵ $∠ 1 = ∠ 2$ （已知），

∴ $∠ 1 = ∠ 3$ （）．

∴ $G D ∥ A C$ （）．

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22. 3台大收割机和1台小收割机同时工作4小时共收割小麦7.2公顷，2台大收割机和3台小收割机同时工作3小时共收揢小麦5.7公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

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23. 如图，在数轴上，点 $A 、 B$ 分别表示数 $2 a - 1$ ， $1 + a$ ，且点 $A$ 在点 $B$ 的左侧．

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、若点 $A 、 B$ 表示的数是关于 $x$ 的不等式 $x - 2 a < 2$ 的解，求 $a$ 的整数解．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ A C B$ ， $D$ 是线段 $B A$ 延长线上的动点，在线段 $B D$ 上取一点 $E$ ，使 $∠ D E C = ∠ D C E$ ．

(1)、当点 $E$ 在线段 $A B$ 上时，且 $∠ D C A = 3 2^{∘}$ ，求 $∠ B C E$ 的度数；

(2)、若 $∠ B A C = 12 0^{∘}$ ，且 $△ A C D$ 是直角三角形，则 $∠ B C E =$ °

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25. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：

进货批次	甲种水果（单位：千克）	乙种水果（单位：千克	总费用（单位：元）
第一次	80	50	2500
第二次	40	70	2420

(1)、求甲、乙两种水果的进价；

(2)、第一次和第二次购进的水果全部售完后，第三次又购进甲、乙两种水果共150千克，购买的资金不超过3240元；

①求购进的甲种水果至少为多少千克？

②第三次购进的甲、乙两种水果的售价分别为22元/千克、35元/千克．由于失水和腐烂，甲种水果减少了 $a$ 千克，乙种水果减少了 $1.2 a$ 千克．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润为1134元，则常数 $a$ 的值为．

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26. 定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形．

(1)、已知四边形 $A B C D$ 是对补四边形．
①若 $∠ A = 6 5^{∘}$ ，则 $∠ C =$ °．

②如图①， $∠ B A D$ 、 $∠ B C D$ 的平分线分别与 $B C 、 A D$ 相交于点 $E 、 F$ ，且 $∠ D = 9 0^{∘}$ ．
求证： $A E ∥ C F$ ；

(2)、如图②，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 交于点 $E$ ，且 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ A B C = ∠ B E C$ ， $C F$ 平分 $∠ B C D$ ，与 $A D$ 交于点 $F$ ，且 $C F ⊥ B D$ 于点 $G$ ，则四边形 $A B C D$ 是对补四边形吗？请说明理由；

(3)、已知四边形 $A B C D$ 是对补四边形，其三个顶点 $A ， B ， D$ 如图③所示，连接 $A B ， A D$ ．若 $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $C F$ 平分 $∠ B C D$ ，且直线 $A E$ ， $C F$ 交于点 $O$ （与点 $C$ 不重合），请直接写出 $∠ A O C$ 与 $∠ D$ 之间的数量关系

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