（人教版）2023-2024学年八年级数学上册12.1全等三角形同步分层训练（培优卷）

试卷更新日期：2023-07-13 类型：同步测试

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一、解答题

1. （问题背景）
在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $∠ B = ∠ A D C = 90 °$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = 60 °$ ，试探究图1中线段 $B E$ 、 $E F$ 、 $F D$ 之间的数量关系．

（初步探索）

小晨同学认为：延长 $F D$ 到点 $G$ ，使 $D G = B E$ ，连接 $A G$ ，先证明 $△ A B E ≌ △ A D G$ ，再证明 $△ A E F ≌ △ A G F$ ，则可得到 $B E$ 、 $E F$ 、 $F D$ 之间的数量关系是．

（探索延伸）

在四边形 $A B C D$ 中如图2， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $C D$ 上的点， $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，上述结论是否仍然成立？说明理由．

（结论运用）

如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ $O$ 处）北偏西30°的 $A$ 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的 $B$ 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 $E$ ， $F$ 处，且两舰艇之间的夹角（ $∠ E O F$ ）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

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2. 如图，在等腰 $Rt △ A B C$ 中，∠C=90°，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持 $A D = C E$ .连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：求证 $△ D F E$ 是等腰直角三角形；

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3. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $A B + B D = C D$ ，求证： $∠ A B C = 2 ∠ C$ .

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4. 已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明

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二、填空题

5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10cm，OC＝6cm，F是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上．已知A，Q两点间的距离是O，F两点间距离的a倍，若用（a，t）表示经过时间t（x）时，△OCF，△FAQ，△CBQ中有两个三角形全等，请写出（a，t）的所有可能情况．

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6. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．

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7. 如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为.

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8. 在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为

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9. 如图，已知 $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， $A B = 6$ ， E，F分别是线段 $A B$ 和射线 $B D$ 上的动点，且 $B F = 2 B E$ ，点G在射线 $A C$ 上，连接 $E G$ ，若 $△ A E G$ 与 $△ B E F$ 全等，则线段 $A G$ 的长为．

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三、选择题

10. 如图，已知在正方形 $A B C D$ 中， $A B = B C = C D = A D = 10$ 厘米， $∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 9 0^{°}$ ，点E在边 $A B$ 上，且 $A E = 4$ 厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段 $C D$ 上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（　　）

A、2 B、2或1.5 C、2.5 D、2.5或2

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11. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，连接 $A E$ 、 $B E$ ， $∠ E A D = ∠ E A B$ ，给出下列五个结论：① $B E ⊥ A E$ ；② $B E$ 平分 $∠ A B C$ ；③ $A D + B C = A B$ ；④ $A B ⊥ B C$ ；⑤ $S_{△ A B E} = \frac{1}{2}$ S_四边形_ABCD ，其中正确的有（）

A、3个 B、2个 C、5个 D、4个

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12. 如图，锐角△ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 边上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB' ，且C'D∥EB'∥BC ， BE 、CD 交于点 F ，若∠BAC = α， ∠BFC = β，则（）

A、2α+β= 180° B、2β-α= 145° C、α+β= 135° D、β-α= 60°

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13. 如图， $Δ A B C ≌ Δ A^{'} B^{'} C$ ， $∠ B C B^{'} = 3 0^{∘}$ ，则 $∠ A C A^{'}$ 的度数为（）

A、 $3 0^{∘}$ B、 $4 5^{∘}$ C、 $6 0^{∘}$ D、 $1 5^{∘}$

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14. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌△DEF，BC=8，BF=13，则BE的长为（）

A、4 B、5 C、6.5 D、8

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15. 已知△ABC≌△DEF，且∠A与∠D是对应角，∠B和∠E是对应角，则下列说法中正确的是（）

A、AC与DF是对应边 B、AC与DE是对应边 C、AC与EF是对应边 D、不能确定AC的对应边

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16. 在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，延长 $B C$ 至点E，使 $C E = 2$ ，连接 $D E$ ，动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线 $B C - C D - D A$ 运动，设点Q的运动时间为t秒.当t为何值时， $△ A B Q$ 和 $△ D C E$ 全等.（　　）

A、1 B、1或3 C、1或 $\frac{11}{2}$ D、3或 $\frac{11}{2}$

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17. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则 $∠ 1$ 的度数是（）

A、54° B、56° C、60° D、66°

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18. 如图， $△ A B C ≌ △ A D E$ ， $∠ B A C = 80 ° ， ∠ B = 40 °$ ，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $80 °$

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19. 如图， $△ O A B ≅ △ O C D$ ，若 $∠ A = 78 °$ ， $O A = 5$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $∠ C O D = 78 °$ B、 $O C = 5$ C、 $∠ D = 20 °$ D、 $C D = 5$

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四、综合题

20.

(1)、问题背景：
如图 1，在四边形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD= 120°，∠B =∠ADC= 90°，E，F 分别是 BC， CD 上的点，且∠EAF = 60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.

小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，先证明Δ $A B E ≅$ ΔADG，再证明Δ $A E F ≌$ ΔAGF，可得出结论，他的结论应是.

(2)、探索延伸：
如图 2，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF= $\frac{1}{2}$ ∠BAD，上述结论是否依然成立？并说明理由.

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21. 在△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠CAB，∠ACB，AD与CE交于点O

求证：

(1)、∠AOE=60°；

(2)、AC=AE+CD.

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22. 如图，已知：AB∥CD，E是BD上一点，

(1)、AE，CE分别是∠BAC与∠ACD的平分线，求证：AE⊥CE；

(2)、若AB+CD=AC，且E是BD中点.求证：CE平分∠ACD.

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23.

(1)、问题背景：如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $B A = B C$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $∠ M B N = 60 °$ ， $∠ M B N$ 绕B点旋转，它的两边分别交 $A D$ 、 $D C$ 于E、F.探究图中线段 $A E$ ， $C F$ ， $E F$ 之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长 $F C$ 到G，使 $C G = A E$ ，连接 $B G$ ，先证明 $△ B C G ≌ △ B A E$ ，再证明 $△ B F C ≌ △ B F E$ ，可得出结论，他的结论就是；

(2)、探究延伸1：如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $B A = B C$ ， $∠ A B C = 2 ∠ M B N$ ， $∠ M B N$ 绕B点旋转，它的两边分别交 $A D$ 、 $D C$ 于E、F.上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由.

(3)、探究延伸2：如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $B A = B C$ ， $∠ B A D + ∠ B C D = 180 °$ ， $∠ A B C = 2 ∠ M B N$ ， $∠ M B N$ 绕B点旋转，它的两边分别交 $A D$ 、 $D C$ 于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由.

(4)、实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 $30 °$ 的A处舰艇乙在指挥中心南偏东 $70 °$ 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 $50 °$ 的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 $70 °$ ，试求此时两舰艇之间的距离.

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二、填空题

三、选择题

四、综合题

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