北师大版数学九年级上册同步练习——第一章《特殊平行四边形》综合练习

试卷更新日期：2023-07-11 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 下列命题正确的是（）

A、正方形的对角线相等且互相平分 B、对角互补的四边形是平行四边形 C、矩形的对角线互相垂直 D、一组邻边相等的四边形是菱形

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2. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，将线段 $A B$ 水平向右平移a个单位长度得到线段 $E F$ ，若四边形 $E C D F$ 为菱形时，则a的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）

A、若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B、若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C、若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形

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4. 如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在 $B^{'}$ 上，连接 $D B^{'}$ ．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则 $∠ A D B^{'}$ 的度数为（）

A、50° B、60° C、80° D、90°

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5. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（）

A、27° B、53° C、57° D、63°

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6. 如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋ $\sqrt{3}$ ．则四边形EFGH的周长为（）

A、 $4 (2 + \sqrt{6})$ B、 $4 (\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)$ C、 $8 (\sqrt{2} + \sqrt{3})$ D、 $4 (\sqrt{2} + \sqrt{6} + 2)$

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7. 如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（）

A、AF＝CF B、∠FAC＝∠EAC C、AB＝4 D、AC＝2AB

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8. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）

A、16 B、6 $\sqrt{7}$ C、12 $\sqrt{7}$ D、30

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9. 如图，菱形 ABCD 对角线交点与坐标原点 O 重合，点 A（-2，5），则点C的坐标为（）

A、 $(5 ， - 2)$ B、 $(2 ， - 5)$ C、 $(2 ， 5)$ D、 $(- 2 ， - 5)$

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10. 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O．E，F 分别为 AC，BD 上一点，且 OE=OF，连接 AF，BE，EF，若∠AFE=25°，则∠CBE 的度数为（）

A、50° B、55° C、65° D、70°

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11. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32 $\sqrt{3}$ ，则CD的长为（）

A、4 B、4 $\sqrt{3}$ C、8 D、8 $\sqrt{3}$

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12. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 2 ， ∠ A B C = 60 °$ ， M是对角线BD上的一个动点， $C F = B F$ ，则 $M A + M F$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、填空题

13. 矩形纸片ABCD中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，点M在AD边所在的直线上，且 $D M = 1$ ，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为.

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14. 在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 如图所示，点 $A$ 的坐标 $(- 1 ， 0)$ ，点 $D$ 的坐标是 $(- 2 ， 4)$ ，则点 $C$ 的坐标是．

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15. 如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝．

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16. 如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝ $\frac{1}{3}$ AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．

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17. 矩形ABCD中， $A B = 8$ ， $A D = 7$ ，点E在AB边上， $A E = 5$ ．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 2$ ， $G$ 是 $A D$ 的中点，线段 $E F$ 在边 $A B$ 上左右滑动；若 $E F = 1$ ，则 $G E + C F$ 的最小值为 .

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三、解答题

19. 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且 $∠ E A F = 45 °$ ．把 $△ A D F$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B G$ ．求证： $△ A G E ≌ △ A F E$ ．

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20. 如图所示，平行四边形 $A B C D$ 对角线交于点O，过点O作 $E F ⊥ A C$ 分别交 $C D ， A B$ 于F，E两点，求证四边形 $A E C F$ 为菱形．

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21. 【阅读材料】

老师的问题：

已知：如图， $A E ∥ B F$ ．

求作：菱形 $A B C D$ ，使点C，D分别在 $B F ， A E$ 上．

小明的作法：

（1）以A为圆心， $A B$ 长为半径画弧，交 $A E$ 于点D；

（2）以B为圆心， $A B$ 长为半经画弧，交 $B F$ 于点C；

（3）连接 $C D$ ．

四边形 $A B C D$ 就是所求作的菱形，

【解答问题】

请根据材料中的信息，证明四边形 $A B C D$ 是菱形．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点，E是 $A D$ 的中点，过点A作 $A F ∥ B C$ 交 $C E$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $A F = B D$ ；

(2)、连接 $B F$ ，若 $A B = A C$ ，求证：四边形 $A D B F$ 是矩形．

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23. 如图， $A D$ 和 $B C$ 相交于点 $O$ ， $∠ A B O = ∠ D C O = 90 °$ ， $O B = O C$ ．点 $E$ 、 $F$ 分别是 $A O$ 、 $D O$ 的中点．

(1)、求证： $O E = O F$ ；

(2)、当 $∠ A = 30 °$ 时，求证：四边形 $B E C F$ 是矩形．

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，点O为对角线 $B D$ 的中点，过点O的直线l分别与 $A D$ 、 $B C$ 所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）

(1)、求证： $△ D O E ≌ △ B O F$ ；

(2)、当直线 $l ⊥ B D$ 时，连接 $B E$ 、 $D F$ ，试判断四边形 $E B F D$ 的形状，并说明理由．

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25. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $G$ 是对角线 $B D$ 上的一点（与点 $B ， D$ 不重合）， $G E ⊥ C D ， G F ⊥ Β C ，$ $E ， F$ 分别为垂足.连结 $E F ， A G$ ，并延长 $A G$ 交 $E F$ 于点 $H$ .

(1)、求证： $∠ D A G = ∠ E G H$ .

(2)、判断 $A H$ 与 $E F$ 是否垂直，并说明理由.

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