广东省汕头市2022-2023学年高二下学期数学教学质量监测（期末）试卷

试卷更新日期：2023-07-11 类型：期末考试

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一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x \in N ∣ x^{2} - 4 x - 5 \leq 0} ， B = {x \in R ∣ l o g_{2023} (x - 2) \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2 ， 3]$ B、[2，3] C、 ${3}$ D、 $ϕ$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (3 + i) = 3 + i^{2023}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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3. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 4$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $2 \vec{a}$ B、 $4 \vec{a}$ C、 $3 \vec{a}$ D、 $8 \vec{a}$

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4. 一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，两个半圆半径分别为2和4，则该圆台的体积是（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2} π}{24}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3} π}{24}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2} π}{12}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3} π}{3}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n s i n \frac{n π}{3}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{2023} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 数学对于一个国家的发展至关正要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“儿何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式在（）

A、60种 B、78种 C、84种 D、144种

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7. 已知椭圆方程 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 ， F$ 是其左焦点，点 $A (1 ， 1)$ 是椭圆内一点，点 $P$ 是椭圆上任意一点，若 $| P A | + | P F |$ 的最大值为 $D_{m a x}$ ，最小值为 $D_{m i n}$ ，那么 $D_{m a x} + D_{m i n} =$ （）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、4 C、8 D、 $8 \sqrt{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = 2 x \ln 2 x$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ ， $t > 0$ ，则 $\frac{\ln t}{x_{1} x_{2}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{4}{e^{2}}$ C、 $\frac{1}{e}$ D、 $\frac{2}{e}$

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二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9. 对变量 $y$ 和 $x$ 的一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ 进行回归分析，建立回归模型，则正确的有（）

A、残差平方和越大，模型的拟合效果越好 B、若由样本数据得到经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则其必过点 $(\bar{x} ， \bar{y})$ C、用决定系数 $R^{2}$ 来刻画回归效果， $R^{2}$ 越小，说明模型的拟合效果越好 D、若 $y$ 和 $x$ 的样本相关系数 $r = - 0.95$ ，则 $y$ 和 $x$ 之间具有很强的负线性相关关系

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10. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (x + \frac{π}{2}) + s i n (2 x + \frac{π}{6}) - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 最大值为1 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、函数 $g (x) = s i n 2 x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位可以得到函数 $f (x)$ 的图像

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 和圆 $P ： x^{2} + (y - 3)^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则（）

A、双曲线C的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $x \pm 2 y = 0$ C、当 $r = \sqrt{6}$ 时，双曲线 $C$ 与圆 $P$ 没有公共点 D、当 $r = 2 \sqrt{2}$ 时，双曲线 $C$ 与圆 $P$ 恰有两个公共点

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12. 在四梭维 $S - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形， $S A ⊥$ 底面 $A B C D ，$ $S A = A B$ ， AC，BD交于点O，M是梭SD上的动点，则（）

A、存在点M，使 $O M / /$ 平面SBC B、三棱锥 $S - A C M$ 体积的最大值为 $\frac{4}{3}$ C、点 $M$ 到平面ABCD的距离与点 $M$ 到平面SAB的距离之和为定值 D、存在点 $M$ ，使直线OM与AB所成的角为 $3 0^{°}$

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三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13. ${(x - \frac{3}{x})}^{n}$ 展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为.(用数字作答)

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14. 已知 $t a n (α + \frac{π}{6}) = 2$ ，则 $t a n (2 α + \frac{7 π}{12}) =$

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15. 已知直线 $y = a x + b (a \in R ， b > 0)$ 是曲线 $f (x) = e^{x}$ 与曲线 $g (x) = l n x + 2$ 的公切线，则 $a + b$ 的值为

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16. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{n} - a_{n - 1} = n (n \geq 2 ， n \in N^{+})$ ，设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1}} + \frac{1}{a_{n + 2}} + \frac{1}{a_{n + 1}} + ⋯ + \frac{1}{a_{2 n}}$ ，若对任意的正整数 $n$ ，当 $m \in [1 ， 2]$ 时，不等式 $m^{2} - m t + \frac{1}{3} > b_{n}$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是

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四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 为BC上一点， $A D = C D ， B A = 7 ， B C = 8$

(1)、若 $B = 6 0^{°}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的半径 $R$ ；

(2)、设 $∠ C A B - ∠ A C B = θ$ ，且 $s i n θ = \frac{3 \sqrt{3}}{14} (0 < θ < \frac{π}{2})$ ，求 $△ A B C$ 面积.

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18. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{3 \cdot 2^{a_{n}}}{(2^{a_{n}} - 1) (2^{a_{n + 1}} - 1)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{1}{3}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 底面ABCD，底面ABCD是直角梯形， $A B ⊥ A D ， A B / / C D ， A B = 2 A D = 2 C D = 2$ ， E是PB的中点

(1)、求证：平面EAC $⊥$ 平面PBC；

(2)、二面角P-AC-E的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

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20. 某数学兴趣小组为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成结的样本观测数据蹩理如下：

		语文成绩		合计
		优秀	不优秀	合计
数学成绩	优秀	50	30	80
数学成绩	不优秀	40	80	120
合计		90	110	200

(1)、根据

α = 0.010

的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联?

(2)、在人工智能中常用

L (B ∣ A) = \frac{P (B ∣ A)}{P (\bar{B} ∣ A)}

表示在事件

A

发生的条件下事件

B

发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，

A

表示“选到的学生语文成绩不优秀”，

B

表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计

L (B ∣ A)

的值；

(3)、现从数学成绩优秀的样本中，按语文成续优秀与不优秀进行分层抽样，从中选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中语文成绩优秀的人数

X

的概率分布列及数学期望.

附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

a	0.050	0.010	0.001
x_a	3.841	6.635	10.828

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点相同，曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2} ， P (2 ， y)$ 为曲线 $E$ 上一点且 $| P F | = 3$ .

(1)、求曲线 $C$ 和曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、过 $F$ 的直线交曲线 $C$ 于H、G两点，若线段 $H G$ 的中点为 $M$ ，且 $\vec{M N} = 2 \vec{O M}$ ，求四边形OHNG面积的最大值

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - m x + 1$ ， $g (x) = x (e^{x} - 2)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的最大值是0，求 $m$ 的值；

(2)、若对其定义域内任意 $x$ ， $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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