陕西省渭南市大荔县2022-2023学年高二下学期理科数学期末试卷

试卷更新日期：2023-07-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、 $1$

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2. 命题“ $\forall x \in R ， e^{x} > 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R ， e^{x} \leq 0$ B、 $\exists x \in R ， e^{x} < 0$ C、 $\forall x \in R ， e^{x} \leq 0$ D、 $\forall x \in R ， e^{x} < 0$

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3. 函数f（x）=1+sinx，其导函数为f $^{'}$ （x），则f $^{'}$ （ $\frac{π}{3}$ ）=（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 以下四个命题中是假命题的是（）

A、“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理． B、“在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若 $a / / b$ ， $b / / c$ ，则 $a / / c$ ，将此结论放到空间中也成立”此推理属于合情推理． C、若命题“ $\neg p$ ”与命题“ $p \lor q$ ”都是真命题，那么命题q一定是真命题． D、若 $x \in (0 ， \frac{π}{2}]$ ，则 $s i n x + \frac{2}{s i n x}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ．

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5. 已知直线 $y = x - 1$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM与抛物线C交于O，N，若 $| O N | = 3 | O M |$ ，则p=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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6. $(x - 2) (x + 2) > 0$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $x \leq 0$ B、 $x \geq 0$ C、 $x ≥ 3$ D、 $x > 2$ 或 $x < - 2$

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7. 某校以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果栽培”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的两门.则甲、乙、丙这3名学生至少有2名学生所选劳动课全不相同的方法种数共有（）

A、2080 B、2520 C、3375 D、3870

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8. 一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为（）

题号学生	1	2	3	4	5	6	7	8	得分
甲	×	√	×	√	×	×	√	×	30
乙	×	×	√	√	√	×	×	√	25
丙	√	×	×	×	√	√	√	×	25
丁	×	√	×	√	√	×	√	√	m

A、35 B、30 C、25 D、20

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9. 已知某离散型随机变量X的分布列如下：

x

          $- 1$

0

1

2

P

a

b

c

          $\frac{1}{3}$

若 $E (X) = \frac{3}{4}$ ， $P (X \geq 1) = \frac{7}{12}$ ，则 $D (X) =$ （）

A、 $\frac{15}{16}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{19}{16}$ D、 $\frac{5}{4}$

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10. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都相等，M为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则AM与 $B C_{1}$ 所成角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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11. 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形 $A B C D$ 是圆 $O$ 的内接四边形，且 $A C = \sqrt{3} B D$ ， $∠ A D C = 2 ∠ B A D$ ．若 $A B \cdot C D + B C \cdot A D = 4 \sqrt{3}$ ，则圆 $O$ 的半径为（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12. 已知 $a = e - 2$ ， $b = 1 - l n 2$ ， $c = e^{e} - e^{2}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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二、填空题

13. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \leq 0 \\ x + y \leq 1 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为.

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14. $\int_{1}^{e} (x - \frac{1}{x}) d x =$ .

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15. 写出一个满足以下三个条件的函数： $f (x) =$ ．
①定义域为R；② $f (x)$ 不是周期函数；③ $f^{'} (x)$ 是周期为 $2 π$ 的函数．

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16. 已知实数 $a > 0 > b$ ，且 $a - b = 5$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{2 - b}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{2} + a_{4} = 14$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{6}$ 成等比数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c - \sqrt{3} b s i n A = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 c} - b$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b = \frac{1}{4} c$ ，且BC边上的高为 $2 \sqrt{3}$ ，求a．

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19. 如图，在三棱柱 $B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为2，且 $B_{1} C = \sqrt{6}$ ， $∠ A B B_{1} = 60 °$ ， $\vec{B B_{1}} = 3 \vec{B D}$ ．

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ．

(2)、求平面ACD与平面 $A_{1} B_{1} C$ 夹角的余弦值．

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20. 2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长呈现稳中有进的可喜现象.服务业的消费越来越火爆，大荔县一些超市也纷纷加大了广告促销.现随机抽取7家超市，得到其广告支出

x

（单位：万元）与销售额

y

（单位：万元）数据如下：

超市	A	B	C	D	E	F	G
广告支出	1	2	4	6	10	13	20
销售额	19	32	44	40	52	53	54

附注：参考数据 $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 2788$ ， $\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} = 726$ ， $\sum_{i = 1}^{7} y_{i}^{2} = 13350$ ，回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、建立

y

关于

x

的一元线性回归方程（系数精确到0.01）；

(2)、若将超市的销售额

y

与广告支出

x

的比值称为该超市的广告效率值

μ

，当

μ \geq 10

时，称该超市的广告为“好广告”.从这7家超市中随机抽取4家超市，记这4家超市中“好广告”的超市数为

X

，求

X

的分布列与期望.

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为4.

(1)、求椭圆方程；

(2)、过 $P (2, 1)$ 作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程及弦长.

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22. 已知函数 $f (x) = m e^{x} + \frac{l n x - 2}{x} + 1$ .

(1)、若 $m = 0$ ，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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x	$- 1$	0	1	2
P	a	b	c	$\frac{1}{3}$