安徽省十校联盟2022-2023学年高二下学期数学6月联考试题

试卷更新日期：2023-07-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | x^{2} + 16 < 10 x}$ ， $B = {x | x > 5}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x > 2}$ B、 ${x | 2 < x < 5}$ C、 ${x | 5 < x < 8}$ D、 ${x | x > 8}$

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2. 若曲线 $y = x^{2} - l n x$ 的一条切线的斜率是 $- 1$ ，则切点的横坐标为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $e$

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3. 通用技术结业课程上，老师带领大家设计一个圆台状的器皿材料的厚度忽略不计，该器皿下底面半径为3cm，上底面半径为18cm，容积为 $1935 \sqrt{3} π c m^{3}$ ，则该器皿的高为（）

A、 $5 \sqrt{3} c m$ B、 $12 \sqrt{3} c m$ C、 $15 \sqrt{3} c m$ D、 $20 \sqrt{3} c m$

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4. 棣莫佛公式 ${[r (c o s θ + i s i n θ)]}^{n} = r^{n} (c o s n θ + i s i n n θ)$ （i为虚数单位， $r > 0$ ），是由法国数学家棣莫佛发现的.根据棣莫佛公式，复数 $z = {[\frac{\sqrt{2}}{2} (c o s \frac{5 π}{12} + i s i n \frac{5 π}{12})]}^{4}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$

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5. 若直线 $l ⊂$ 平面 $α$ ，直线 $m \subset$ 平面 $β$ ，则“ $l / / β$ ”的一个必要不充分条件是（）

A、 $α ∥ β$ B、 $l$ ， $m$ 共面 C、 $m ∥ α$ D、 $l$ ， $m$ 无交点

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6. 音乐与数学在某些领域息息相关，比如在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦．已知某和弦可表示为函数 $f (x) = s i n x - 2 s i n 2 x$ ，则 $f (x)$ 在 $[- π ， π]$ 上的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 正多边形具有对称美的特点，很多建筑设计都围绕着这一特点展开.已知某公园的平面设计图如图所示， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，四边形 $A B D E$ ， $A G F C$ ， $B C H I$ 都是正方形，则 $\vec{A H} \cdot \vec{I F}$ （）

A、 $4 - 2 \sqrt{3}$ B、 $- 4 - 2 \sqrt{3}$ C、 $2 - 4 \sqrt{3}$ D、 $- 2 - 4 \sqrt{3}$

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8. 18世纪数学家欧拉在研究调和级数时得到了这样的成果：当 $n$ 很大时， $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i} = l n n + r$ （ $r$ 为常数）.基于上述事实，已知 $a = \sum_{i = 30001}^{40000} \frac{1}{i} - \frac{4}{3}$ ， $b = \sum_{i = 50001}^{60000} \frac{1}{i} - \frac{6}{5}$ ， $c = \sum_{i = 70001}^{90000} \frac{1}{i} - \frac{9}{7}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > a > b$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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二、多选题

9. 将函数 $f (x) = 2 s i n (3 x - \frac{π}{4})$ 的图像的横坐标伸长为原来的2倍后，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图像，则（）

A、 $g (x)$ 的周期为 $\frac{2 π}{3}$ B、 $g (π) = - \sqrt{2}$ C、 $g (x + \frac{π}{3}) = g (- x)$ D、 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ 上单调递减

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10. 某中学共有1000名学生，其中初中生600人，身高的平均数为160，方差为100，高中生400人，身高的平均数为170，方差为200，则下列说法正确的是（）

A、该中学所有学生身高的平均数为164 B、该中学所有学生身高的平均数为162 C、该中学所有学生身高的方差为162 D、该中学所有学生身高的方差为164

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11. 已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到其准线的距离为4，过点 $F$ 作直线 $l$ 交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，则（）

A、 $C$ 的准线为 $x = - 2$ B、 $∠ M O N$ 的大小可能为 $\frac{π}{2}$ C、 $| M N |$ 的最小值为8 D、 $| M F | | N F | = 2 (| M F | + | N F |)$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别是棱 $B C$ ， $B B_{1}$ 的中点， $\vec{C P} = λ \vec{C C_{1}}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ，则（）

A、存在 $λ$ 使得 $M N ⊥$ 平面 $A M P$ B、存在 $λ$ 使得 $A N / /$ 平面 $D M P$ C、当 $λ = \frac{2}{3}$ 时，平面 $A M P$ 截正方体所得的截面形状是五边形 D、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，异面直线 $A P$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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三、填空题

13. 公元前1800年，古埃及的“加罕纸草书”上有这样一个问题：将100德本（德本是古埃及的重量单位）的食物分成10份，第一份最大，从第二份开始，每份比前一份少 $\frac{5}{6}$ 德本，求各份的大小.在这个问题中，最小的一份是德本.

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14. 已知圆 $C ： {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} + 25 (r \in N^{*})$ ， $M (- 1 ， 0)$ ， $N (1 ， 0)$ ，若以线段 $M N$ 为直径的圆与圆 $C$ 有公共点，则 $r$ 的值可能为.（写出一个即可）

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四、双空题

15. 某商场在过道上设有两排座位（每排4座）供顾客休息，小明、小红等四位同学去商场购物后坐在座位上休息，已知该时段座位上空无一人，则不同的坐法有种；若小明和小红坐在同一排，且每排都要有人坐，则不同的坐法有种.（用数字作答）

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五、填空题

16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，点 $A$ 在 $C$ 上， $O$ 为坐标原点，且 $∠ O A F = ∠ O F A = \frac{π}{6}$ ，则 $C$ 的离心率是.

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六、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c = 2 (b c o s C - a)$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 4 \sqrt{3}$ ， $D$ 为线段 $A C$ 的中点， $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，点 $(a_{n + 1} ， S_{n}) (n \in N^{*})$ 在直线 $y = x - 1$ 上．

(1)、求 $a_{2}$ 及 $a_{n}$ ；

(2)、记 $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{\frac{n}{2}} ， n 为偶数 \\ 1 + l o g_{2} a_{n} ， n 为奇数 \end{array}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前20项和 $T_{20}$ ．

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19. 为了检查新机器的生产情况，某公司对该机器生产的部分产品的质量指标进行检测，所得数据统计如图所示.

(1)、求 $a$ 的值以及被抽查产品的质量指标的平均值；

(2)、以频率估计概率，若从所有产品中随机抽取4件，记质量指标值在 $[3 ， 7)$ 的产品数量为 $X$ ，求 $X$ 的分布列以及数学期望 $E (X)$ .

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $∠ C B A = \frac{1}{2} ∠ B A D = \frac{4}{3} ∠ S B C = 60 °$ ， $S A = A B = B C = 2 A D = \sqrt{2} S B$ .

(1)、求证：平面 $S B C ⊥$ 平面 $S C D$ ；

(2)、若点 $E$ 是线段 $S C$ 上靠近 $S$ 的三等分点，求直线 $D E$ 与平面 $S A B$ 所成角的正弦值.

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21. 已知直线 $l ： m x + y - 2 m - 3 = 0$ 过定点 $A$ ，双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $A$ ，且 $C$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ .

(1)、求点 $A$ 的坐标和 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l^{'} ： y = k x + 1 (k \neq 1)$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，试探究：直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{1 - x} + a x^{3} - x (a \in R)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{3}$ ，判断 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq x l n x + a$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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