浙江省金华十校2022-2023学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-07-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x ∣ x^{2} < 1} ， N = {x ∣ x < \frac{1}{2}}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x ∣ x < \frac{1}{2}}$ B、 ${x ∣ - 1 < x < \frac{1}{2}}$ C、 ${x ∣ x < 1}$ D、 ${x ∣ \frac{1}{2} < x < 1}$

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2. “ $a = 0$ 且 $b = 1$ ”是“复数 $z = a + b i (a ， b \in R)$ 是纯虚数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设 $a = {(\frac{1}{3})}^{2.5} ， b = l o g_{3} 5 ， c = 3^{- 2.3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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4. 一个正六棱锥，其侧面和底面的夹角大小为 $6 0^{∘}$ ，则该正六棱锥的高和底面边长之比为（）

A、 $3 ： 2$ B、 $3 ： 1$ C、 $2 ： 3$ D、 $1 ： 3$

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5. 函数 $f (x) = s i n (2 x + φ)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，若函数 $g (x)$ 是偶函数，则 $t a n φ =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格（单位：Q元/千克）与上市时间t（单位：天）的数据如下表所示：

时间t/（单位：天）

10

20

70

销售价格Q（单位：元/千克）

100

50

100

根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系： $Q = a t + b ， Q = a t^{2} + b t + c ， Q = a \cdot b^{t} ， Q = a \cdot l o g_{b} t$ .利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售价格最低的日期为（）

A、6月5日 B、6月15日 C、6月25日 D、7月5日

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7. 已知定义在 $R$ 上的三个函数 $f (x) ， g (x) ， h (x)$ ，其中 $f (x)$ 为偶函数， $g (x) ， h (x)$ 是奇函数，且 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递增， $g (x)$ 在 $R$ 上单调递增， $h (x)$ 在 $R$ 上单调递减，则（）

A、 $f (x) \cdot g (x)$ 是奇函数，且在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递增 B、 $f (x) \cdot g (x)$ 是偶函数，且在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减 C、 $g (x) \cdot h (x)$ 是奇函数，且在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减 D、 $g (x) \cdot h (x)$ 是偶函数，且在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递增

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8. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， E ， F ， G$ 分别为棱 $A A_{1} ， B C ， C D$ 的中点，则该正方体的外接球被平面 $E F G$ 所截的圆的面积是（）

A、 $\frac{18}{11} π$ B、 $\frac{27}{11} π$ C、 $\frac{29}{11} π$ D、 $\frac{32}{11} π$

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二、多选题

9. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 2$ ，则（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3}$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的模为 $\frac{3}{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x + \frac{3}{x} - m (m \in R)$ ，则（）

A、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点 B、 $f (1)$ 是 $f (x)$ 的最小值 C、 $f (x)$ 最多有2个零点 D、 $f (x)$ 最少有1个零点

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11. 三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D ， B C ⊥ C D$ 且 $B C = C D$ ， $B E ⊥ A C ， B F ⊥ A D ， E ， F$ 分别为垂足， $G$ 为 $B D$ 中点，则（）

A、平面 $B E F ⊥$ 平面 $A B D$ B、平面 $B E F ⊥$ 平面 $A C D$ C、平面 $B E F ⊥$ 平面 $A B C$ D、平面 $B E F ⊥$ 平面 $A G C$

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12. 金华某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为

2

万人，每晚最多能接纳的客流量为

10

万人，主办公司决定通过微信公众号和其他

A P P

进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市投入的广告费

x

与每晚增加的客流量

y

存在如下关系：

x/万元	1	2	3	4	5	6
y/千人	5	6	8	9	12	20

参考数据： $\bar{y} = 10 ， \sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 257 ， \sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 91 ， \sum_{i = 1}^{6} 2^{i} = 126 ， \sum_{i = 1}^{6} {(2^{i})}^{2} = 5460 ， \sum_{i = 1}^{6} 2^{i} y_{i} = 1906$

附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

现用曲线 $C ： y = c_{1} + c_{2} \times 2^{x}$ 拟合变量 $x$ 与 $y$ 的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数 $c_{1}$ ， $c_{2}$ 的最小二乘估计（精确到 $0.1$ ），依所求回归方程 $C$ 为预测依据，则（）

A、

{\hat{c}}_{1} = 5.8

B、曲线

C

经过点

(l o g_{2} 21 ， 10)

C、广告费每增加

1

万元，每晚客流量平均增加

3000

人 D、若广告费超过

9

万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力

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三、填空题

13. 二项式 ${(x^{3} - \frac{1}{x})}^{12}$ 展开式的常数项是.

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14. 曲线 $y = e^{x} c o s x$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为.

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15. 现有连在一排的9个房间，若把甲乙丙三人每人一间随机安排住宿，则恰好只有甲乙两人住的房间相邻的概率是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + a ， x \leq 0 \\ e^{x} - x ， x > 0 \end{array}$ ，若 $f (f (x)) > f (x)$ 对任意的 $x \in [- 2 ， + \infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2}) ， s i n (α + \frac{π}{4}) = c o s 2 α$ .

(1)、求 $α$ 的大小；

(2)、设函数 $f (x) = s i n (x + 2 α) + 2 s i n^{2} \frac{x}{2}$ ，求 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的最大值.

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18. 海水养殖场进行某水产品的新､旧网箱养殖法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各水箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示.

(1)、求新养殖法的频率分布直方图中小矩形高度x的值：

(2)、根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率

α = 0.01

的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关.

养殖法	箱产量		合计
养殖法	箱产量<50 $k g$	箱产量 $\geq$ 50 $k g$	合计
旧养殖法
新养殖法
合计

（ $P (χ^{2} \geq 6.635) = 0.01 ， χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$ ）

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是由 $△ A B C$ 与正 $△ A C D$ 拼接而成，设 $A B = 1$ ， $s i n ∠ B A C = \sqrt{3} s i n ∠ A C B$ .

(1)、当 $∠ A B C = 9 0^{∘}$ 时，设 $\vec{B D} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，求 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、当 $∠ A B C = 15 0^{∘}$ 时，求线段 $B D$ 的长.

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20. 如图四棱锥 $P - A B C D$ ，点 $A ， B ， C ， D$ 在圆 $O$ 上， $A B = A D = 2 ， ∠ B A D = 12 0^{∘}$ ，顶点 $P$ 在底面的射影为圆心 $O$ ，点 $E$ 在线段 $P D$ 上.

(1)、若 $A B / / C D ， P E = λ P D$ ，当 $A E$ //平面 $P B C$ 时，求 $λ$ 的值；

(2)、若 $A B$ 与 $C D$ 不平行，四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\sqrt{6} ， P O = \sqrt{2}$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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21. 袋子中有大小相同的12个白球和6个红球.

(1)、若从袋中随机有放回地摸取3个球，记摸到白球的个数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的数学期望

(2)、若把这18个球分别放到三个盒子中，其中0号盒子有1个红球5个白球，1号盒子有2个红球4个白球，2号盒子有3个红球3个白球，现抛掷两颗骰子，若点数之和除以3的余数为 $i (i = 0 ， 1 ， 2)$ 时，从 $i$ 号盒子中摸取3个球.求摸出的3个球中至少有2个白球的概率.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x} - a l n x (a > 0)$ .

(1)、若 $a = \frac{3}{2}$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不相等的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，极值点为 $x_{0}$ ，证明：
（i） $e < a < x_{0} < a + 1$

（ii） $x_{1} + x_{2} > 2 a$

注： $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828 ⋯$ .

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时间t/（单位：天）	10	20	70
销售价格Q（单位：元/千克）	100	50	100