浙江省金华十校2022-2023学年高一下学期数学期末联考试题

试卷更新日期：2023-07-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x \leq 1} ， B = {x ∣ \frac{x}{x - 2} \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${x ∣ - 1 \leq x < 2}$ C、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 1}$ D、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 2}$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z_{1} = 4 + 2 i$ 与 $z_{2} = 3 + a i$ 的模相等，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $\pm \sqrt{11}$ B、 $\sqrt{11}$ C、±11 D、11

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3. 设函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2 m x}$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上单调递增，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $[- 2 ， - 1]$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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4. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，面积 $S$ 满足 $a^{2} - 4 S = c^{2} + b^{2}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (- 3 ， 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是（）

A、 $- \frac{\vec{b}}{10}$ B、 $\frac{\vec{b}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{10} \vec{b}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10} \vec{b}$

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6. 已知 $α ， β ， γ$ 表示三个不同平面， $a ， b ， c$ 表示三条不同直线，则使“ $a / / b / / c$ ”成立的一个充分非必要条件是（）

A、若 $a ⊥ α ， b ⊥ β ， c ⊥ γ$ ，且 $α ⊥ β ， β ⊥ γ ， γ ⊥ α$ B、若 $a / / α ， b / / β ， c / / γ$ ，且 $α / / β / / γ$ C、若 $α \cap β = a ， β \cap γ = b ， γ \cap α = c$ D、若 $α ∩ β = a ， b \subset α ， c \subset β ， b / / c$

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7. 一个圆柱形粮仓，高1丈3尺 $3 \frac{1}{3}$ 寸，可容纳米2000斛，已知1丈 $= 10$ 尺 $= 100$ 寸，1斛米 $= 1620$ 立方寸，若 $π$ 取3，则该圆柱形粮仓底面的周长是（）

A、440寸 B、540寸 C、560寸 D、640寸

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8. 设 $a = l o g_{2} 3 ， b = l o g_{3} 4.5 ， c = l o g_{4} 6$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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二、多选题

9. 若函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $P (0 ， \frac{1}{2})$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心 C、直线 $x = \frac{π}{6}$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的对称轴 D、函数 $f (x)$ 的单调增区间为 $[2 k π - \frac{π}{3} ， 2 k π + \frac{π}{6}] (k \in Z)$

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10. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为 $Ω = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8}$ ，记事件 $A =$ “得到的点数为奇数”，记事件 $B =$ “得到的点数不大于4”，记事件 $C =$ “得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）

A、事件 $B$ 与 $C$ 互斥 B、 $P (A ∪ B) = \frac{3}{4}$ C、事件 $A$ 与 $C$ 相互独立 D、 $P (\bar{A B}) = \frac{3}{4}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，且满足 $b s i n A = a c o s (B - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、若 $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 的周长的最大值为 $3 + 2 \sqrt{3}$ C、若 $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $B D = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若角 $B$ 的平分线 $B D$ 与边 $A C$ 相交于点 $D$ ，且 $B D = \sqrt{3}$ ，则 $a + 4 c$ 的最小值为9

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12. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ， A C ， A D$ 两两垂直， $A B = A C = 2 A D = 4$ ，点 $P ， Q$ 分别在侧面 $A B C$ 和棱 $A D$ 上运动且 $P Q = 2 ， M$ 为线段 $P Q$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $A - B C D$ 的内切球的半径为 $\frac{2 \sqrt{6} - 4}{3}$ B、三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的表面积为 $36 π$ C、点 $M$ 到底面 $B C D$ 的距离的最小值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} - 1$ D、三棱锥 $M - B C D$ 的体积的最大值为 $\frac{8}{3}$

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三、填空题

13. 某射击运动员在一次射击测试中，射靶 $10$ 次，每次命中的环数如下： $7 ， 5 ， 9 ， 8 ， 9 ， 6 ， 7 ， 10 ， 4 ， 7$ ，记这组数的众数为 $M$ ，第 $75$ 百分位数为 $N$ ，则 $M + N =$ .

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14. 已知圆锥表面积为 $6 π c m^{2}$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥底面半径是 $c m$ .

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15. 已知非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $| \vec{A B} - \vec{A C} | = 2 \sqrt{2} ， | \vec{A B} + \vec{A C} | = 6 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的动点，则 $\vec{D B} \cdot \vec{D C}$ 的最小值为.

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16. 已知 $s i n^{2} 1 2^{∘} + c o s^{2} 4 2^{∘} + s i n 1 2^{∘} c o s 4 2^{∘} = s i n^{2} 1 3^{∘} + c o s^{2} 4 3^{∘} + s i n 1 3^{∘} c o s 4 3^{∘} = m$ ，则 $m =$ .

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = s i n x + c o s (x + \frac{π}{6})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 单调递增区间；

(2)、将函数 $f (2 x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 的值域.

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18. 已知 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $6 0^{∘}$ 的单位向量， $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} ， \vec{b} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ .

(1)、若 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，求实数 $λ$ 的值；

(2)、若 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b} (x ， y \in R$ ，且 $y \neq 0)$ ，求 $\frac{| \vec{c} |}{| y |}$ 的最小值.

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19. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 的底面是边长为 $3$ 的等边三角形，侧棱 $P A = 3 ， P B = 4 ， P C = 5$ ，设点 $M ， N$ 分别为 $P C ， B C$ 的中点.

(1)、证明： $A M ⊥ B C$ ；

(2)、求三棱锥 $P - A B C$ 的体积；

(3)、求平面 $A P B$ 与平面 $A M N$ 的夹角余弦值.

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20. 袋子 $A$ 和 $B$ 中均装有若干个质地均匀的红球和白球，其中 $A$ 袋有20个红球和10个白球，从 $B$ 袋中摸一个球，摸到红球的概率为 $p$ .

(1)、若 $B$ 袋中的红球和白球总共有15个，将 $A ､ B$ 两个袋子中的球全部装在一起后，从中摸出一个白球的概率是 $\frac{2}{5}$ ，求 $p$ 的值；

(2)、从 $A$ 袋中有放回地摸球，每次摸出一个，当有3次摸到红球即停止，求恰好摸 $k (k \leq 5)$ 次停止的概率.

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21. 树人中学

2000

名师生参加了对学校教学管理满意度的评分调查，按样本量比例分配的分层随机抽样方法，抽取

100

个师生的评分（满分

100

分），绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：

满意度评分	低于 $60$ 分	$60$ 分到 $79$ 分	$80$ 分到 $89$ 分	$90$ 分及以上
满意度等级	不满意	基本满意	满意	非常满意

(1)、求图中

a

的值；

(2)、若师生的满意指数不低于

0.8

，则该校可获评“教学管理先进单位”，根据你所学的统计知识，判断该校是否能获奖，并说明理由.（注：满意指数

= \frac{满 意 度 的 平 均 数}{100}

）

(3)、假设在样本中，学生、教师的人数分别为

m

、

n (1 \leq n < m < 100 ， m ， n \in N)

.记所有学生的评分为

x_{1}

、

x_{2}

、

⋯

、

x_{m}

，其平均数为

\bar{x}

，方差为

s_{x}^{2}

，所有教师的评分为

y_{1}

、

y_{2}

、

⋯

、

y_{n}

，其平均数为

\bar{y}

，方差为

s_{y}^{2}

，总样本评分的平均数为

\bar{z}

，方差为

s^{2}

，若

\bar{x} = \bar{y}

，

s^{2} = \frac{4}{5} s_{x} \cdot s_{y}

，试估计该校等级为满意的学生的最少人数.

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 1$ .

(1)、若 $f (l o g_{2} x) = 2023$ ，求 $f (l o g_{0.5} x)$ 的值；

(2)、已知函数 $f (x)$ 的图象经过 $(1 ， - 1) ， (2 ， 3)$ ，
（i）若 $f (t) = 0$ ，求 $f (1 - \frac{1}{t})$ 的值；

（ii）若 $f (x)$ 的三个零点为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求 $(x_{1}^{2} - x_{2} - 2) (x_{2}^{2} - x_{3} - 2) (x_{3}^{2} - x_{1} - 2)$ 的值.

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