北师大版数学九年级上册同步练习——第一章《特殊平行四边形》3.正方形的性质与判定（2）

试卷更新日期：2023-07-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列命题是真命题的是（）

A、对边相等的四边形是平行四边形 B、有一个角是90°的平行四边形是矩形 C、邻边相等的四边形是菱形 D、对角线互相垂直的平行四边形为正方形

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2. 如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（）

A、①② B、①④ C、③④ D、②③

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3. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 交于点O，下列条件中，能使矩形 $A B C D$ 成为正方形的是（）

A、 $A C = B C$ B、 $∠ A O B = 60 °$ C、 $O A = A D$ D、 $B C = C D$

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4. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，添加下列条件，能使菱形 $A B C D$ 成为正方形的是（）

A、 $A C = B D$ B、 $A C ⊥ B D$ C、 $A D = A B$ D、 $A C$ 平分 $∠ D A B$

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5. 如图，已知四边形 $A B C D$ 的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的的是（）

A、 $A O = B O = C O = D O$ ， $A C ⊥ B D$ B、 $A C = B C = C D = D A$ C、 $A O = C O$ ， $B O = D O$ ， $A C ⊥ B D$ D、 $A B = B C$ ， $C D ⊥ D A$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ ， $A B$ ， $C A$ 上，且 $D E / / C A$ ， $D F / / B A .$ 下列结论：①四边形 $A E D F$ 是平行四边形；②如果 $∠ B A C = 90 °$ ，那么四边形 $A E D F$ 是矩形；③如果 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，那么四边形 $A E D F$ 是菱形；④如果 $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，那么四边形 $A E D F$ 是正方形 $.$ 你认为正确的是（）

A、①②③④ B、①②③ C、①②④ D、②③④

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7. 如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（）

A、三角形 B、梯形 C、正方形 D、五边形

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8. 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：

a.两组对边分别相等        b.一组对边平行且相等

c.一组邻边相等        d.一个角是直角

顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c

则正确的是（   ）

A、仅① B、仅③ C、①② D、②③

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二、填空题

9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使矩形 $A B C D$ 是正方形．

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10.
如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是．

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11. 如图，以 $△ A B C$ 的三边为边在 $B C$ 上方分别作等边 $△ A C D$ 、 $△ A B E$ 、 $△ B C F$ .且点A在 $△ B C F$ 内部.给出以下结论：
①四边形 $A D F E$ 是平行四边形；
②当 $∠ B A C = 150 °$ 时，四边形 $A D F E$ 是矩形；
③当 $A B = A C$ 时，四边形 $A D F E$ 是菱形；
④当 $A B = A C$ ，且 $∠ B A C = 150 °$ 时，四边形 $A D F E$ 是正方形.
其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）.

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12. 如图，点P是正方形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上一点， $P E ⊥ B C ， P F ⊥ C D$ ，垂足分别为点E ， F ，连接 $A P ， E F$ ，给出下列四个结论：① $A P = E F$ ；② $∠ P F E = ∠ B A P$ ；③ $P D = \sqrt{2} E C$ ；④ $△ A P D$ 一定是等腰三角形．其中正确的结论序号是．

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13. 如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为.

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三、解答题

14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E，F分别在边 $A B ， B C$ 上， $A F ⊥ D E$ ，且 $A F = D E$ ， $A F$ 与 $D E$ 相交于点G．求证：矩形 $A B C D$ 为正方形；

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15. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $B D$ 上，且 $B E = D F$ ， $O E = O A$ .
求证：四边形 $A E C F$ 是正方形.

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16. 如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，连接AE、CE， $∠ B A E = ∠ B C E$ ， $∠ A E B = ∠ C E B$ ，求证：四边形ABCD是正方形.

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17. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 交于点 $O$ ，分别以点 $B ， C$ 为圆心， $\frac{1}{2} A C ， \frac{1}{2} B D$ 长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，连接 $B P ， C P$ ．

(1)、试判断四边形 $B P C O$ 的形状，并说明理由；

(2)、请说明当 $▱ A B C D$ 的对角线满足什么条件时，四边形 $B P C O$ 是正方形？

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D、E、F分别是 $A C$ 、 $A B$ 、 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $C E = D F$ ．

(2)、连接 $D E$ 、 $E F$ ，求证：四边形 $C D E F$ 为矩形．

(3)、 $△ A B C$ 满足什么条件时，四边形 $C D E F$ 为正方形，并证明．

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19. 定义：如果一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸四边形为“准等边四边形”．如正方形就是一个“准等边四边形”．

(1)、如图，在给定的网格中，找到格点D．使得以A、B、C、D为顶点的四边形是准等边四边形

(2)、如图1，▱ABCD中，对角线CA平分∠BCD，将线段CD绕点C顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜∠B）至CE，连接AE、DE．

①求证：四边形ABCE是准等边四边形；

②如图2，连接BE，求证：∠BED＝∠ACB；

(3)、如图3，在准等边四边形ABCD中，∠C=90°，AB＝BC＝CD＝2，∠B＝150°，请求出∠BAD的大小及该四边形的面积．

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