黑龙江省齐齐哈尔市2023年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2023-07-11 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $- 2023$ 的绝对值是（）

A、 $- \frac{1}{2023}$ B、 $- 2023$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $2023$

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2. 下列图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 计算 $(- x^{2})^{3}$ 的结果是（）

A、 $- x^{6}$ B、 $x^{6}$ C、 $- x^{5}$ D、 $- x^{8}$

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4. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、晓丽乘 $12$ 路公交车去上学，到达公共汽车站时， $12$ 路公交车正在驶来 B、买一张电彩票，座位号是偶数号 C、在同一年出生的 $13$ 名学生中，至少有 $2$ 人出生在同一个月 D、在标准大气压下，冰的温度低于 $0 ℃$ 时才融化

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5. 如图，在下面四种用相同的正方体储物箱堆放在一起的形态中，从正面看到的和从左面看到的图形不相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若方程 $3 x^{2} - 10 x + m = 0$ 有两个同号不等的实数根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 0$ B、 $m > 0$ C、 $0 < m < \frac{25}{3}$ D、 $0 < m \leq \frac{25}{3}$

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7. 闻宏商店计划用不超过 $8400$ 元的货款，购进 $A$ 、 $B$ 两种单价分别为 $120$ 元、 $200$ 元的商品共 $50$ 件，据市场行情，销售 $A$ 、 $B$ 商品各一件分别可获利 $20$ 元、 $40$ 元，两种商品均售完 $.$ 若所获利润大于 $1500$ 元，则该商店进货方案有（）

A、 $4$ 种 B、 $5$ 种 C、 $6$ 种 D、 $8$ 种

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8. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 上一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 交 $A B$ 于点 $E .$ 动点 $P$ 从 $D$ 点出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度，按 $D \to E \to B \to C$ 的路径匀速运动，设 $P$ 点的运动时间为 $t$ 秒， $△ P C D$ 的面积为 $S$ ， $S$ 关于 $t$ 的函数图象如图所示，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $12$ D、 $16$

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9. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $t a n A = 3$ ， $B D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，若点 $E$ 是线段 $B D$ 上一动点，则 $C E + \frac{\sqrt{10}}{10} B E$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $10$

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $C$ ，它的对称轴为直线 $x = - 1$ ，有下列结论： $① a b c < 0$ ； $② 4 a c - b^{2} < 0$ ； $③ c - a > 0$ ； $④$ 当 $x = - n^{2} - 2$ 时， $y \geq c$ ； $⑤$ 若 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根，则方程 $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) - 1 = 0$ 的两根 $m$ ， $n (m < n)$ 满足 $m < x_{1}$ 且 $n > x_{2}$ ；其中正确的个数为（）

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11. 据中国政府网报道：今年一季度经济运行开局良好，一季度国内生产总值约为 $285000$ 亿元，按价格不变计算同比增长 $4.5 % . 285000$ 亿元用科学记数法表示为元 $.$

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12. 某校初一 $(1)$ 班计划举办手抄报展览，确定了“ $5 G$ 时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小瑶和小彤每人随机选择其中一个主题，则她们恰好选择同一个主题的概率是．

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13. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积与底面积的比是．

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14. 在Rt△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC绕点B旋转60°，顶点C运动的路线长是（结果保留π）．

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15. 已知点 $A (a ， y_{1})$ 、 $B (a + 1 ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{- m^{2} - 2}{x} (m$ 是常数 $)$ 的图象上，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 如图，已知 $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $⊙ O$ 的半径为 $2$ ，将劣弧 $A C ($ 虚线 $)$ 沿弦 $A C$ 折叠后交弦 $B C$ 于点 $D$ ，连接 $A D .$ 若 $∠ A C B = 60 °$ ，则线段 $A D$ 的长为．

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17. 如图，已知第 $1$ 个菱形 $A B_{1} B_{2} C_{1}$ 中， $∠ B_{1} A C_{1} = 60 °$ ， $A B_{1} = 1$ ，以对角线 $A B_{2}$ 为边作第 $2$ 个菱形 $A B_{2} B_{3} C_{2}$ ，使点 $C_{1}$ 在菱形 $A B_{2} B_{3} C_{2}$ 的内部，且 $∠ B_{2} A C_{2} = 60 °$ ，再以对角线 $A B_{3}$ 为边作第 $3$ 个菱形 $A B_{3} B_{4} C_{3}$ ，使点 $C_{2}$ 在菱形 $A B_{3} B_{4} C_{3}$ 的内部，且 $∠ B_{3} A C_{3} = 60 °$ ，顺次这样作下去 $\dots$ ，则第 $2023$ 个菱形 $A B_{2023} B_{2024} C_{2023}$ 的面积为．

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三、解答题（本大题共7小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.

(1)、计算： $| 2 c o s 45 ° - \sqrt{3} | - (3 - \sqrt{5})^{0} + (\sqrt{2})^{- 1} + 2^{- 2}$ ；

(2)、分解因式： $18 y (x - y)^{2} - 12 (y - x)^{3}$ ．

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19. 解方程： $4 x - 6 = (2 x - 3)^{2}$ ．

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20. 初三(1)班对最近一次数学测验成绩 $($ 得分取整数 $)$ 进行统计分析，将测验成绩整理后制成如下统计图，请结合统计图回答下列问题：

(1)、初三(1)班共有多少名同学参加这次测验？

(2)、若这次测验中，成绩80分以上 $($ 不含80分 $)$ 为优秀，求初三(1)班这次数学测验的优秀率；

(3)、如果这次测验成绩的中位数是80分，那么这次测验中，初三(1)成绩为80分的学生至少有多少人？

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21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C是 $⊙ O$ 上一点，连接 $A C ， B C$ ，点D在 $B A$ 的延长线上， $∠ D C A = ∠ A B C ， B E ⊥ D C$ ，交 $D C$ 的延长线于点E ．

(1)、求证： $D C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\frac{O A}{O D} = \frac{1}{3}$ ， $B E = 4$ ，求 $△ B D E$ 的面积．

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22. 在同一条公路上有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三地， $C$ 地在 $A$ 、 $B$ 两地之间 $.$ 甲车从 $A$ 地出发匀速驶往 $B$ 地，同时乙车从 $C$ 地出发匀速驶往 $A$ 地，到达 $A$ 地因故停留 $3$ 小时后按原路原速驶往 $B$ 地 $.$ 结果甲、乙两车同时到达 $B$ 地，在两车行驶的过程中，甲、乙两车距 $B$ 地的路程 $y ($ 单位：千米 $)$ 与甲车行驶时间 $x ($ 单位：小时 $)$ 之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题：

(1)、乙车的速度为千米 $/$ 时，在图中括号内填入正确数值；

(2)、求甲车从 $C$ 地到 $B$ 地过程中 $y$ 与 $x$ 的函数解析式，直接写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、两车出发后经过多长时间相距 $140$ 千米？请直接写出答案．

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23. 旋转变换是一种全等变换，它是解决几何问题的一种常用的方法 $.$ 已知四边形 $A B C D$ 是菱形， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ E A F$ 的两边分别与射线 $C B$ 、 $D C$ 相交于点 $E$ 、 $F$ ，且 $∠ E A F = 60 °$ ．

(1)、如图1，当点 $E$ 是线段 $C B$ 的中点时，直接写出线段 $A E$ 、 $E F$ 、 $A F$ 之间的数量关系；

(2)、如图2，当点 $E$ 是线段上 $C B$ 任意一点是 $($ 点 $E$ 不与点 $B$ 、点 $C$ 重合 $)$ ，求证： $B E = C F$ ；

(3)、如图3，当点 $E$ 在线段 $C B$ 的延长线上，且 $∠ B A E = 15 °$ 时，则点 $F$ 到 $B C$ 的距离为；

(4)、拓展：如图4，在正方形 $A B C D$ 内作 $∠ E A F = 45 °$ ， $A E$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $A F$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ，过点 $A$ 作 $A H ⊥ E F$ ，垂足为 $H$ ．
如图 $5$ ，将 $△ A D F$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B G$ ，则 $△ A E G$ ≌ $△$ ；若 $B E = 2$ ， $D F = 3$ ，则 $A H =$ ；

(5)、如图 $6$ ，连接 $B D$ 交 $A E$ 于点 $M$ ，交 $A F$ 于点 $N$ ，则线段 $B M$ 、线段 $M N$ 、线段 $N D$ 之间的数量关系为．

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24. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 2)$ ，与直线 $y = x$ 交于点 $A (- 2 ， - 2)$ 、点 $B (2 ， 2)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若抛物线与 $x$ 轴交于点 $D$ 、点 $E$ ，连接 $B C$ ， $F$ 是线段 $D E$ 上的任意一点，当 $△ B C F$ 为等腰三角形时，请你直接写出点 $F$ 的坐标；

(3)、若点 $G$ 是直线 $A B$ 的下方该抛物线上的一点 $($ 不与点 $A$ 、点 $B$ 重合 $)$ ，使得 $△ A B G$ 的面积最大，请你求出点 $G$ 的坐标，并求出 $△ A B G$ 的面积最大值；

(4)、如图，线段 $M N$ 在线段 $A B$ 上移动 $($ 点 $M$ 与点 $A$ 不重合，点 $N$ 与点 $B$ 不重合 $)$ ，且 $M N = \sqrt{2}$ ，若 $M$ 点的横坐标为 $m$ ，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线与 $x$ 轴交于点 $P$ ，过点 $N$ 作 $x$ 轴的垂线与抛物线交于点 $Q .$ 以点 $P$ 、 $M$ 、 $Q$ 、 $N$ 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请你直接写出 $m$ 的值；若不能，请说明理由．

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