（北师大版）2023-2024学年八年级数学上册1.1 探索勾股定理同步测试

试卷更新日期：2023-07-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交AC于点D，且 $B D ⊥ A C$ ， F在BC上，E为AF的中点，连接DE，若 $B F = D E$ ， $A C = 2 \sqrt{3} D E$ ， $B D = 6$ ，则AB的长为（）

A、 $3 \sqrt{6}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{42}$ D、9

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2. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若 $∠ A O C = 90 °$ ，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（）

A、4米 B、4.5米 C、5米 D、5.5米

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3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（　　）

A、6 B、7 C、8 D、9

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4. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为（）

A、 $\frac{25}{4}$ cm B、 $\frac{15}{2}$ cm C、7cm D、 $\frac{13}{2}$ cm

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，分别以A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线 $M N$ ，与 $A C$ ， $B C$ 分别交于D，E，连接 $A E$ ，若 $A B = 5$ ， $A C = 13$ ，则 $△ A B E$ 的周长为（）

A、16 B、17 C、18 D、19

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6. 如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE长为（）

A、4.8 B、5 C、5.8 D、6

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7. 如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为（）

A、24 B、20 C、12 D、22

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8. 在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 2 \sqrt{13}$ ，则底边上的高为（）

A、12 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、18

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9. 如图所示，已知 $△ ABC$ 中， $AB = 6$ ， $AC = 9$ ， $AD ⊥ BC$ 于 $D$ ， $M$ 为 $AD$ 上任一点，则 ${MC}^{2} - {MB}^{2}$ 等于（）

A、9 B、35 C、45 D、无法计算

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D ⊥ A C$ 于点D，E是 $A C$ 上一点，且 $D E = D A$ ，若 $A B = 15$ ， $B C = 20$ ，则 $E C$ 的长为（）

A、 $6$ B、 $7$ C、 $8$ D、 $9$

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二、填空题

11. 如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道 $A C$ 与 $A E$ 的长度相等，滑梯的高度 $B C = 6 m$ ， $B E = 2 m$ .则滑道 $A C$ 的长度为m.

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12. 如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是.

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13. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中 $A B = A C = 25 c m$ ，底边BC的长 $48 c m$ ，那么衣架的高 $A D =$ $c m$ .

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14. 如图，在长方形纸片 $A B C D$ 中， $A D = 8$ ， $A B = 10$ ，点M为 $B C$ 上一点，将 $△ C D M$ 沿 $D M$ 翻至 $△ E D M$ ， $E M$ 交 $A B$ 于点G， $E D$ 交 $A B$ 于点F，且 $B G = E G$ ，则 $C M$ 的长度是.

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于点D，点E，连结AE，当AC=13，AB=5时，则△ABE的周长是.

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三、解答题

16. 如图，某校攀岩墙 $A B$ 的顶部A处安装了一根安全绳 $A C$ ，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即 $B C = 8$ 米）， $A B ⊥ B C$ ，求攀岩墙 $A B$ 的高度.

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17. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连结AE，求BE的长.

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18. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ， AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，连接MN，交AD于点E，求AE的长．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，已知 $B C = 10$ ， $A D = 12$ ，求 $A C$ 的长.

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四、综合题

20. 如图，点A在直线l上，在直线l右侧做等腰三角形 $A B C$ ， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ，点D与点B关于直线l轴对称，连接 $C D$ 交直线l于点E，连接 $B E$ .

(1)、求证： $∠ A D C = ∠ A C D$ ；

(2)、求证： $∠ B E C = α$ ；

(3)、当 $α = 90 °$ 时，求证： $E D^{2} + C E^{2} = 2 A B^{2}$ .

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，作 $D E ⊥ A C$ 于点E.

(1)、若 $A D = C D$ ，求 $∠ C$ 的度数；

(2)、若 $A B = 3$ ， $A C = 5$ ，求 $△ A C D$ 的面积.

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22. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ， $∠ A B D = α$ ，点D为 $A C$ 边上的一个动点，连接 $B D$ ，点A关于直线 $B D$ 的对称点为点E，直线 $B D ， C E$ 交于点F．

(1)、如图1，当 $α = 20 °$ 时，根据题意将图形补充完整，并直接写出 $∠ B F C$ 的度数；

(2)、如图2，当 $0 ° < α < 45 °$ 时，用等式表示线段 $F C ， E F ， B C$ 之间的数量关系，并证明．

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23. 【问题背景】

(1)、如图1，点P是线段 $A B$ ， $C D$ 的中点，求证： $A C ∥ B D$ ；

(2)、【变式迁移】
如图2，在等腰 $△ A B C$ 中， $B D$ 是底边 $A C$ 上的高线，点E为 $△ A B D$ 内一点，连接 $E D$ ，延长 $E D$ 到点F，使 $E D = F D$ ，连接 $A F$ ，若 $B E ⊥ A F$ ，若 $A B = 10$ ， $E B = 6$ ，求 $A F$ 的长；

(3)、【拓展创新】
如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D为 $A B$ 中点，点E在线段 $B D$ 上（点E不与点B，点D重合），连接 $C E$ ，过点A作 $A F ⊥ C E$ ，连接 $F D$ ，若 $A F = 8$ ， $C F = 3$ ，请直接写出 $F D$ 的长.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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