北师大版数学九年级上册同步练习——第一章《特殊平行四边形》3.正方形的性质与判定（1）

试卷更新日期：2023-07-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）．

A、对角线互相垂直 B、对角线平分一组对角 C、对角线相等 D、对角线互相平分

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2. 如图，边长为 $3$ 的正方形 $O B C D$ 两边与坐标轴正半轴重合，点 $C$ 的坐标是（）

A、 $(3 ， - 3)$ B、 $(- 3 ， 3)$ C、 $(3 ， 3)$ D、 $(- 3 ， - 3)$

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3. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 是边 $C D$ 上一点，连接 $O E$ ，过点 $O$ 作 $O F ⊥ O E$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ．若四边形 $E O F D$ 的面积是1，则 $A B$ 的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $C D$ 上，连接 $A E$ ， $A F$ ， $E F$ ， $∠ E A F = 45 °$ ．若 $∠ B A E = α$ ，则 $∠ F E C$ 一定等于（）

A、 $2 α$ B、 $90 ° - 2 α$ C、 $45 ° - α$ D、 $90 ° - α$

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5. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线交于点O，点E是直线 $B C$ 上一动点．若 $A B = 4$ ，则 $A E + O E$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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6. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，E，F分别为 $A O$ ， $D O$ 上的一点，且 $E F ∥ A D$ ，连接 $A F ， D E$ ．若 $∠ F A C = 15 °$ ，则 $∠ A E D$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $90 °$ C、 $105 °$ D、 $115 °$

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7. 如图，边长为6的正方形 $A B C D$ 中，M为对角线 $B D$ 上的一点，连接 $A M$ 并延长交 $C D$ 于点P．若 $P M = P C$ ，则 $A M$ 的长为（　　）

A、 $3 (\sqrt{3} - 1)$ B、 $3 (3 \sqrt{3} - 2)$ C、 $6 (\sqrt{3} - 1)$ D、 $6 (3 \sqrt{3} - 2)$

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二、填空题

8. 如图所示，将正方形 $A B O C$ 放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为 $(- 2 ， 3)$ ，则点A的坐标为．

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，E为 $B C$ 上一点， $C E = 7$ ， F为 $D E$ 的中点，若 $△ C E F$ 的周长为32，则 $O F$ 的长为．

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10. 如图，在边长为3的正方形 $A B C D$ 的外侧，作等腰三角形 $A D E$ ， $E A = E D = \frac{5}{2}$ ．

(1)、 $△ A D E$ 的面积为；

(2)、若F为 $B E$ 的中点，连接 $A F$ 并延长，与 $C D$ 相交于点G，则 $A G$ 的长为．

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11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E，F分别在边 $B C ， C D$ 上， $A E = A F$ ， $∠ E A F = 3 0^{°}$ ，则 $∠ A E B =$ $°$ ．

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是边 $D C$ ， $A D$ 上的点， $A E ⊥ B F$ ．若 $A B = 5$ ， $A F = 2$ ，则 $C E$ 的长是．

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13. 如图所示，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=1，则四边形BEDF的周长是.

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三、解答题

14. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点E为对角线 $A C$ 上的一点， $E F ⊥ C D$ ， $E G ⊥ A D$ ，垂足分别为F，G，已知 $E G = 1$ ， $E F = 2$ ，求 $B E$ 的长度．

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15. 如图，已知在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N．试判定线段MD与MN的大小关系，并说明理由．

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16. 如图所示，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置.若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长.

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17. 按如图所示的方法分别以AB和AC为边作正方形ABDE和正方形AGFC，连接CE、BG，求证：△ACE≌△AGB.

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18. 如图，边长为 $4 a$ 的正方形 $A B C D$ 中， $M$ 是 $C D$ 的中点， $N$ 是 $B C$ 上一点，且 $B N = \frac{3}{4} B C$ ，求证： $A M ⊥ M N$

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