（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册1.3 正方的性质与判定同步测试

试卷更新日期：2023-07-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， E，F分别为边 $A B ， B C$ 的中点，连接 $A F ， D E$ ，点G，H分别为 $D E ， A F$ 的中点，连接 $G H$ ，则 $G H$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（）

A、对角线互相垂直 B、对角线相等 C、对角相等 D、邻边相等

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3. 如图，点P在圆O的直径AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中点D，G在直径所在直线上，点C，E，F，H都在圆O上．若两个正方形的面积之和为16，OP= $\sqrt{2}$ ，则DG的长是（）

A、6 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{14}$ C、7 D、4 $\sqrt{3}$

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4. 下列说法正确的是（）

A、菱形的四个内角都是直角 B、矩形的对角线互相垂直 C、正方形的每一条对角线平分一组对角 D、平行四边形是轴对称图形

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5. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $E$ 为对角线 $A C$ 上与点 $A$ ， $C$ 不重合的一个动点，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ， $E G ⊥ B C$ 于点 $G$ ，连接 $D E$ ， $F G$ .给出下列结论：① $D E = F G$ ；② $D E ⊥ F G$ ；③ $∠ B F G = ∠ A D E$ ；④ $F G$ 的最小值为3.其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 某款正方形地砖如图所示，其中AE＝BF＝CG＝DH，且∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°，若四边形MNPQ的面积为S₁ ，四边形AFQE面积为S₂ ，当AF＝5 $\sqrt{2}$ ，且 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{32}{41}$ 时，AE的长为（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、3 C、4 D、3 $\sqrt{2}$

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7. 已知：正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ D B C$ 的角平分线 $B F$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ， $O F = 1$ ，则 $A B =$ （）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} - 2$ C、 $4 - 2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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8. 下列命题中是真命题的是（　　）

A、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B、两条对角线相等的平行四边形是矩形 C、有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D、两边相等的平行四边形是菱形

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9. 如图，正方形 $O A B C$ 的边长为 $\sqrt{2}$ ，将正方形 $O A B C$ 绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点 $B_{1}$ 的坐标为（）

A、 $(\sqrt{2} ， 0)$ B、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ C、 $(0 ， \sqrt{2})$ D、 $(0 ， 2)$

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10. 下列命题是真命题的是（）

A、对边相等的四边形是平行四边形 B、有一个角是90°的平行四边形是矩形 C、邻边相等的四边形是菱形 D、对角线互相垂直的平行四边形为正方形

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二、填空题

11. 如图，直线l上有三个正方形 $a ， b ， c$ ，若 $a ， b$ 的面积分别为9和25，若抛一颗石子，落在阴影部分的概率为.

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 中，将边 $A B$ 绕着点A旋转，当点B落在边 $C D$ 的垂直平分线上的点E处时， $∠ B E D$ 的度数为．

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13. 如图，已知P是正方形ABCD对角线AC上的一点，且AP＝AD，则∠CDP的大小是度．

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14. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点F为 $C D$ 上一点， $B F$ 与 $A C$ 交于点E．若 $∠ C B F = 18 °$ ，则 $∠ A E D$ 等于度．

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15. 如图，以正方形 $A B C D$ 的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为 $(1 ， 1)$ ，则点D的坐标为．

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三、解答题

16. 按如图所示的方法分别以AB和AC为边作正方形ABDE和正方形AGFC，连接CE、BG，求证：△ACE≌△AGB.

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E，F分别在边 $A B ， B C$ 上， $A F ⊥ D E$ ，且 $A F = D E$ ， $A F$ 与 $D E$ 相交于点G．求证：矩形 $A B C D$ 为正方形；

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18. 如图， $E 、 F$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上的两点，且 $B E = D F$ ，求证： $△ A B E ≅ △ C D F$ ；

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19. 如图，菱形ABCD的边长为4， $∠ B = 60 °$ ，以AC为边长作正方形ACEF，求这个正方形的周长.

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四、综合题

20. 如图1，点E为正方形 $A B C D$ 内一点， $∠ A E B = 90 °$ ，将 $△ A B E$ 绕点B顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $△ C B E^{'}$ （点A的对应点为点C），延长 $A E$ 交 $C E^{'}$ 于点F，连接 $D E$ .

(1)、试判断四边形 $B E F E^{'}$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $D A = D E$ ，如图2，请猜想线段 $C F$ 与 $E^{'} F$ 的数量关系，并加以证明.

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21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O.

(1)、若 $∠ O A B = 45 °$ ，求证：矩形 $A B C D$ 是正方形；

(2)、请添加一个异于（1）的条件，使矩形 $A B C D$ 成为正方形，不用说明理由.

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22. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点G．点H是线段CE上一点，且CO＝CH．

(1)、若OF＝5，求FH的长；

(2)、求证：BF＝OH+CF．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， AD是中线，E是AD的中点，过点A作 $A F ∥ B C$ 交BE的延长线于F，连接CF．

(1)、求证： $B D = A F$ ；

(2)、如果 $A B = A C$ ，试判断四边形ADCF的形状并证明．

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（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册1.3 正方的性质与判定 同步测试

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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