江苏省扬州市宝应县2022-2023学年七年级下学期数学期末试题

试卷更新日期：2023-07-11 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1. 下列运算正确的是（）

A、 $2 m - m = 1$ B、 $m^{2} \cdot m^{3} = a^{6}$ C、 $(m n)^{2} = m^{2} n^{2}$ D、 ${(m^{3})}^{2} = m^{5}$

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2. 如果 $x < y$ ，那么下列不等式正确的是（）

A、 $2 x < 2 y$ B、 $- 2 x < - 2 y$ C、 $x - 1 > y - 1$ D、 $x + 1 > y + 1$

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3. 下列多边形具有稳定性的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，在方格纸中，点 $P 、 Q 、 M$ 是正方形网格的格点．若 $M N ∥ P Q$ ，则点 $N$ 可能是（）

A、点 $A$ B、点 $B$ C、点 $C$ D、点 $D$

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5. 已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，将含 $30 °$ 角的直角三角板按如图所示摆放．若 $∠ 1 = 110 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $120 °$ B、 $130 °$ C、 $140 °$ D、 $150 °$

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6. 下列因式分解正确的是（）

A、 $a x + a y = a (x + y) + 1$ B、 $3 a + 3 b = 3 (a + b)$ C、 $a^{2} + 4 a + 4 = (a + 4)^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a - b)^{2}$

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7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住？人，那么有7人无房可住：如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房 $x$ 间，房客 $y$ 人，则列出关于 $x 、 y$ 的二元一次方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} 7 x - 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 7 x + 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 7 x + 7 = y \\ 9 x - 1 = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 x - 7 = y \\ 9 x - 1 = y \end{array}$

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8. 关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} - \frac{1}{3} x > \frac{2}{3} - x \\ \frac{1}{2} x - 1 < \frac{1}{2} (a - 2) \end{array}$ 有且只有三个整数解，则 $a$ 的最大值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

9. 科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为0.000000103米，将数据0.000000103用科学记数法表示为．

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10. 因式分解： $x^{2} y + x y^{2} =$ ．

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11. 请写出命题“如果 $a > b$ ，那么 $b - a < 0$ ”的逆命题是．

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12. 已知 $x + y = 4 ， x - y = - 6$ ，则 $x^{2} - y^{2} =$ ．

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13. 若一个多边形的每个内角均为 $140 °$ ，则这个多边形的边数为．

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14. 若等腰三角形的两边长分别是 $3 c m$ 和 $5 c m$ ，则这个等腰三角形的周长是 $c m$ ．

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15. 如图，直线 $a ∥ b$ ，点 $C 、 A$ 分别在直线 $a 、 b$ 上， $A C ⊥ B C$ ，若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为 $°$ ．

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16. 如图，将 $△ A B C$ 沿直线 $B C$ 方向平移后得到 $△ D E F$ ，已知 $B C = 5 ， E C = 2$ ，则平移的距离是．

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17. 一个盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得4分，摸到1个白球得3分，王俊凯同学摸到了 $x$ 个红球， $y$ 个白球，共得32分，如果把他摸到的一组红球和白球的数量表示为 $(x ， y)$ 的形式，那么 $(x ， y)$ 为．

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18. 如图，长方形 $A B C D$ 的周长为8，分别以长方形的一条长和一条宽向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为10，则长方形 $A B C D$ 的面积是．

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三、解答题（本大题共有9小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算：

(1)、 $(- 3)^{101} \times (- \frac{1}{3}) 100 - (π - 3)^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、 ${(3 a^{2})}^{2} - a^{2} \cdot 2 a^{2} + {(- 2 a^{3})}^{2} \div a^{2}$ ．

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20.

(1)、解方程组： ${\begin{array}{l} 4 x - 3 y = 6 ① \\ 3 x - y = 7 ② \end{array}$ ；

(2)、解不等式 $\frac{x - 1}{3} - \frac{x + 4}{2} > - 2$ ．

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21. 已知 $3 x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ，求 $(x - 1)^{2} + x (x + \frac{2}{3})$ 的值．

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22. 整式 $3 (\frac{1}{3} - m)$ 的值为 $P$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $P$ 的值；

(2)、若 $P$ 的取值范围如图所示，求 $m$ 的非正整数值．

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23. 如图，直线 $a ∥ b$ ，且直线 $a 、 b$ 被直线 $c 、 d$ 所截．

(1)、求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ；

(2)、若 $∠ 1 + ∠ 3 = 180 °$ ，试判断直线 $c$ 与直线 $d$ 的位置关系，并说明理由．

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24. 如图1，将长为 $2 a + 3$ ，宽为 $2 a$ 的大长方形分割成四个完全相同的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图），得到大小两个正方形．

(1)、用关于 $a$ 的代数式表示图1中大长方形的面积；

(2)、求图2中小正方形的面积是多少（结果要化简）？

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25. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ∥ B C$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $∠ E B D = ∠ E D B$ ；

(2)、若 $∠ A = 72 °$ ， $∠ C = 58 °$ ，求 $∠ C D B$ 的度数．

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26. 在解二元一次方程组时，我们常常也会采用了一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 3 ① \\ 4 x + 11 y = 5 ② \end{array}$ ，首先将方程②变形得 $4 x + 10 y + y = 5$ ，即 $2 (2 x + 5 y) + y = 5 ⋯$ ③，其次把方程①代入③得： $2 \times 3 + y = 5$ 即 $y = - 1$ ，最后把 $y = - 1$ 代入方程①，得 $x = 4$ ，所以方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 1 \end{array}$ ．
请你解决以下问题：

(1)、你能否尝试用“整体代入消元”的方法解方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 16 ① \\ 6 x + 10 y = 25 ② \end{array}$ ；

(2)、已知 $x 、 y$ 满足方程组 ${\begin{array}{l} x^{2} + x y + 3 y^{2} = 45 ① \\ 3 x^{2} - x y + 9 y^{2} = 151 ② \end{array}$ ；
（Ⅰ）求 $x y$ 的值；
（Ⅱ）求出这个方程组的所有整数解．

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27. 为实现区域教育均衡发展，某市计划对 $A 、 B$ 两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金2000万元．改造一所 $A$ 类学校和两所 $B$ 类学校共需资金210万元；改造两所 $A$ 类学校和一所B类学校共需资金180万元．

(1)、改造一所 $A$ 类学校和一所 $B$ 类学校所需的资金分别是多少万元？

(2)、若该市的 $A$ 类学校不超过16所，则 $B$ 类学校至少有多少所？

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28. 如图1，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， ∠ B D C = ∠ B C D ， D E ⊥ D C$ 交 $A B$ 于 $E$ ．

(1)、求证： $D E$ 平分 $∠ A D B$ ；

(2)、如图2，若 $∠ A B D$ 的平分线与 $C D$ 的延长线交于 $F$ ，设 $∠ F = α$ ，
①若 $α = 50 °$ ，求 $∠ A$ 的值；
②若 $∠ F < \frac{1}{2} ∠ A B C$ ，试确定 $α$ 的取值范围．

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