山东省菏泽市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-10 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 ${(2 a^{3})}^{2} = 2 a^{6}$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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3. 一把直尺和一个含 $30 °$ 角的直角三角板按如图方式放置，若 $∠ 1 = 20 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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4. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）

A、 $c (b - a) < 0$ B、 $b (c - a) < 0$ C、 $a (b - c) > 0$ D、 $a (c + b) > 0$

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5. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- 3$ C、3 D、 $- \frac{3}{2}$

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7. $△ A B C$ 的三边长a，b，c满足 $(a - b)^{2} + \sqrt{2 a - b - 3} + | c - 3 \sqrt{2} | = 0$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等腰直角三角形

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8. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如： $A (1 ， 3) ， B (- 2 ， - 6) ， C (0 ， 0)$ 等都是三倍点”，在 $- 3 < x < 1$ 的范围内，若二次函数 $y = - x^{2} - x + c$ 的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（）

A、 $- \frac{1}{4} \leq c < 1$ B、 $- 4 \leq c < - 3$ C、 $- \frac{1}{4} < c < 5$ D、 $- 4 \leq c < 5$

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二、填空题

9. 因式分解： $m^{2} - 4 m =$ .

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10. 计算： $| \sqrt{3} - 2 | + 2 s i n 60 ° - 202 3^{0} =$ ．

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11. 用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为．

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12. 如图，正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长为4，以顶点A为圆心， $A B$ 的长为半径画圆，则阴影部分的面积为（结果保留 $π$ ）．

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13. 如图，点E是正方形 $A B C D$ 内的一点，将 $△ A B E$ 绕点B按顺时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ C B F$ ．若 $∠ A B E = 55 °$ ，则 $∠ E G C =$ 度．

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14. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 ° ， A B = 5 ， A D = 4 ， A D < B C$ ，点E在线段 $B C$ 上运动，点F在线段 $A E$ 上， $∠ A D F = ∠ B A E$ ，则线段 $B F$ 的最小值为．

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三、解答题

15. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 5 x - 2 < 3 (x + 1) ， \\ \frac{3 x - 2}{3} \geq x + \frac{x - 2}{2} \end{array}$ ．

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16. 先化简，再求值： $(\frac{3 x}{x - y} + \frac{x}{x + y}) \div \frac{x}{x^{2} - y^{2}}$ ，其中x，y满足 $2 x + y - 3 = 0$ ．

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17. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，交 $B C$ 于点E； $C F$ 平分 $∠ B C D$ ，交 $A D$ 于点F．求证： $A E = C F$ ．

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18. 无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度 $B C$ ，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为 $60 °$ ，楼顶C点处的俯角为 $30 °$ ，已知点A与大楼的距离 $A B$ 为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度 $B C$ （结果保留根号）

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19. 某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟）分为如下五组：A组： $50 \leq x < 75$ ， B组： $75 \leq x < 100$ ， C组： $100 \leq x < 125$ ， D组： $125 \leq x < 150$ ， E组： $150 \leq x \leq 175$ ．其中，A组数据为73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：

(1)、A组数据的中位数是，众数是；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是度；

(2)、补全学生心率频数分布直方图；

(3)、一般运动的适宜行为为 $100 ≤ x < 150$ （次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科项目研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？

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20. 如图，已知坐标轴上两点 $A (0 ， 4) ， B (2 ， 0)$ ，连接 $A B$ ，过点B作 $B C ⊥ A B$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限的图象于点 $C (a ， 1)$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 和直线 $O C$ 的表达式；

(2)、将直线 $O C$ 向上平移 $\frac{3}{2}$ 个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．

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21. 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．

(1)、设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

(2)、在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

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22. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，C是圆上一点，D是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，弦 $D E ⊥ A B$ ，垂足为点F．

(1)、求证： $B C = D E$ ；

(2)、P是 $\overset{⌢}{A E}$ 上一点， $A C = 6 ， B F = 2$ ，求 $t a n ∠ B P C$ ；

(3)、在（2）的条件下，当 $C P$ 是 $∠ A C B$ 的平分线时，求 $C P$ 的长．

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23.

(1)、如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $D C$ ， $B C$ 上， $A E ⊥ D F$ ，垂足为点 $G$ ．求证： $△ A D E ∽ △ D C F$ ．

(2)、【问题解决】
如图2，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $D C$ ， $B C$ 上， $A E = D F$ ，延长 $B C$ 到点 $H$ ，使 $C H = D E$ ，连接 $D H$ ．求证： $∠ A D F = ∠ H$ ．

(3)、【类比迁移】
如图3，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $D C$ ， $B C$ 上， $A E = D F = 11$ ， $D E = 8$ ， $∠ A E D = 60 °$ ，求 $C F$ 的长．

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24. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，其对称轴为 $x = - \frac{3}{2}$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图1，点D是线段 $O C$ 上的一动点，连接 $A D ， B D$ ，将 $△ A B D$ 沿直线 $A D$ 翻折，得到 $△ A B^{'} D$ ，当点 $B^{'}$ 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；

(3)、如图2，动点P在直线 $A C$ 上方的抛物线上，过点P作直线 $A C$ 的垂线，分别交直线 $A C$ ，线段 $B C$ 于点E，F，过点F作 $F G ⊥ x$ 轴，垂足为G，求 $F G + \sqrt{2} F P$ 的最大值．

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