山东省济宁市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-10 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 实数 $π ， 0 ， - \frac{1}{3} ， 1.5$ 中无理数是（）

A、 $π$ B、0 C、 $- \frac{1}{3}$ D、1.5

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2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列各式运算正确的是（）

A、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$ B、 $x^{12} \div x^{2} = x^{6}$ C、 $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2}$ D、 ${(x^{2} y)}^{3} = x^{6} y^{3}$

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4. 若代数式 $\frac{\sqrt{x}}{x - 2}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 2$ B、 $x \geq 0$ C、 $x \geq 2$ D、 $x \geq 0$ 且 $x \neq 2$

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5. 如图， $a ， b$ 是直尺的两边， $a ∥ b$ ，把三角板的直角顶点放在直尺的 $b$ 边上，若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $65 °$ B、 $55 °$ C、 $45 °$ D、 $35 °$

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6. 为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示．对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（）

A、中位数是5 B、众数是5 C、平均数是5.2 D、方差是2

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7. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）

A、 $(a + 3)^{2} = a^{2} + 6 a + 9$ B、 $a^{2} - 4 a + 4 = a (a - 4) + 4$ C、 $5 a x^{2} - 5 a y^{2} = 5 a (x + y) (x - y)$ D、 $a^{2} - 2 a - 8 = (a - 2) (a + 4)$

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8. 一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（）

A、 $39 π$ B、 $45 π$ C、 $48 π$ D、 $54 π$

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9. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点 $A ， B ， C ， D ， E$ 均在小正方形方格的顶点上，线段 $A B ， C D$ 交于点 $F$ ，若 $∠ C F B = α$ ，则 $∠ A B E$ 等于（）

A、 $180 ° - α$ B、 $180 ° - 2 α$ C、 $90 ° + α$ D、 $90 ° + 2 α$

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10. 已知一列均不为1的数 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}$ 满足如下关系： $a_{2} = \frac{1 + a_{1}}{1 - a_{1}} ， a_{3} = \frac{1 + a_{2}}{1 - a_{2}}$ ， $a_{4} = \frac{1 + a_{3}}{1 - a_{3}} ， ⋯ ， a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ ，若 $a_{1} = 2$ ，则 $a_{2023}$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 3$ D、2

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二、填空题

11. 一个函数过点 $(1 ， 3)$ ，且 $y$ 随 $x$ 增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式．

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12. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．

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13. 某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点 $A$ ，在点 $A$ 和建筑物之间选择一点 $B$ ，测得 $A B = 30 m$ ．用高 $1 m (A C = 1 m)$ 的测角仪在 $A$ 处测得建筑物顶部 $E$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $B$ 处测得仰角为 $60 °$ ，则该建筑物的高是 $m$ ．

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14. 已知实数 $m$ 满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ，则 $2 m^{3} - 3 m^{2} - m + 9 =$ ．

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15. 如图， $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形，点 $D ， E$ 在边 $B C$ 上，若 $∠ D A E = 30 °$ ， $t a n ∠ E A C = \frac{1}{3}$ ，则 $B D =$ ．

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三、解答题

16. 计算： $\sqrt{12} - 2 c o s 30 ° + | \sqrt{3} - 2 | + 2^{- 1}$ ．

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17. 某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．

等级	劳动积分	人数
A	$x \geq 90$	4
B	$80 \leq x < 90$	m
C	$70 \leq x < 80$	20
D	$60 \leq x < 70$	8
E	$x < 60$	3

请根据以上图表信息，解答下列问题：

(1)、统计表中

m =

， C等级对应扇形的圆心角的度数为；

(2)、学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；

(3)、A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．

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18. 如图， $B D$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线．

(1)、作线段 $B D$ 的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图㢃迹，不必写作法和证明）；

(2)、设 $B D$ 的垂直平分线交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $B E ， D F$ ．
①判断四边形 $B E D F$ 的形状，并说明理由；

②若 $A B = 5 ， B C = 10$ ，求四边形 $B E D F$ 的周长．

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19. 如图，正比例函数 $y_{1} = \frac{1}{2} x$ 和反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像交于点 $A (m ， 2)$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、将直线 $O A$ 向上平移3个单位后，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与 $y_{2} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像交于点 $C$ ，连接 $A B ， A C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少 $0.3$ 万元，且用 $15$ 万元购买A型充电桩与用 $20$ 万元购买B型充电桩的数量相等．

(1)、A，B两种型号充电桩的单价各是多少？

(2)、该停车场计划共购买 $25$ 个A，B型充电桩，购买总费用不超过 $26$ 万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的 $\frac{1}{2}$ ．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？

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21. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D = C B$ ， $B E$ 切 $⊙ O$ 于点 $B$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ O E$ 交 $B E$ 于点 $F$ ，若 $E F = 2 B F$ ．

(1)、如图1，连接 $B D$ ，求证： $△ A D B ≌ △ O B E$ ；

(2)、如图2， $N$ 是 $A D$ 上一点，在 $A B$ 上取一点 $M$ ，使 $∠ M C N = 60 °$ ，连接 $M N$ ．请问：三条线段 $M N ， B M ， D N$ 有怎样的数量关系？并证明你的结论．

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22. 如图，直线 $y = - x + 4$ 交 $x$ 轴于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，对称轴为 $x = \frac{3}{2}$ 的抛物线经过 $B ， C$ 两点，交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ ． $P$ 为抛物线上一动点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于另一点 $M$ ，作 $x$ 轴的垂线 $P N$ ，垂足为 $N$ ，直线 $M N$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若 $0 < m < \frac{3}{2}$ ，当 $m$ 为何值时，四边形 $C D N P$ 是平行四边形？

(3)、若 $m < \frac{3}{2}$ ，设直线 $M N$ 交直线 $B C$ 于点 $E$ ，是否存在这样的 $m$ 值，使 $M N = 2 M E$ ？若存在，求出此时 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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