吉林省长春市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-10 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（）

A、 $a$ B、 $b$ C、 $c$ D、 $d$

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2. 长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”，如图所示，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足 $2030$ 年旅客吞吐量 $38000000$ 人次目标设计的，其中 $38000000$ 这个数用科学记数法表示为（）

A、 $0.38 \times 1 0^{8}$ B、 $38 \times 1 0^{6}$ C、 $38 \times 1 0^{8}$ D、 $3.8 \times 1 0^{7}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} - a^{2} = a$ B、 $a^{2} \cdot a = a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$

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4. 下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（）

A、面① B、面② C、面⑤ D、面⑥

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5. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径 $A B$ 的卡钳，卡钳交叉点O为 $A A^{'}$ 、 $B B^{'}$ 的中点，只要量出 $A^{'} B^{'}$ 的长度，就可以道该零件内径 $A B$ 的长度．依据的数学基本事实是（）

A、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C、两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D、两点之间线段最短

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6. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳 $A B$ 到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成 $25 °$ 角（即 $∠ B A C = 25 °$ ）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即 $A C = 32$ 米），则彩旗绳 $A B$ 的长度为（）

A、 $32 s i n 25 °$ 米 B、 $32 c o s 25 °$ 米 C、 $\frac{32}{s i n 25 °}$ 米 D、 $\frac{32}{c o s 25 °}$ 米

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7. 如图，用直尺和圆规作 $∠ M A N$ 的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）

A、 $A D = A E$ B、 $A D = D F$ C、 $D F = E F$ D、 $A F ⊥ D E$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 、 $B$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上，分别以 $A$ 、 $B$ 为圆心， $1$ 为半径作圆，当 $⊙ A$ 与 $x$ 轴相切、 $⊙ B$ 与 $y$ 轴相切时，连结 $A B$ ， $A B = 3 \sqrt{2}$ ，则 $k$ 的值为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、4 D、6

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二、填空题

9. 分解因式： $a^{2} - 1$ =.

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10. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为公里．（用含x的代数式表示）

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12. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，点 $A$ 在线段 $O A^{^{'}}$ 上．若 $O A ： A A^{'} = 1 ： 2$ ，则 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的周长之比为．

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13. 如图，将正五边形纸片 $A B C D E$ 折叠，使点 $B$ 与点 $E$ 重合，折痕为 $A M$ ，展开后，再将纸片折叠，使边 $A B$ 落在线段 $A M$ 上，点 $B$ 的对应点为点 $B^{'}$ ，折痕为 $A F$ ，则 $∠ A F B^{'}$ 的大小为度．

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14. $2023$ 年5月8日， $C 919$ 商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步． $12$ 时 $31$ 分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为 $80$ 米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面 $20$ 米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退 $10$ 米，两条水柱的形状及喷水口 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 $H^{'}$ 距地面米．

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三、解答题

15. 先化简．再求值： $(a + 1)^{2} + a (1 - a)$ ，其中 $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

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16. 班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．

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17. 随着中国网民规模突破 $10$ 亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使 $“$ 伽瑶 $”$ ，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作 $3000$ 个 $“$ 伽瑶 $”$ 玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的 $1.5$ 倍，结果提前 $5$ 天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？

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18. 将两个完全相同的含有 $30 °$ 角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结 $A F$ 、 $C D$ ．

(1)、求证：四边形 $A F D C$ 是平行四边形；

(2)、已知 $B C = 6 c m$ ，当四边形 $A F D C$ 是菱形时． $A D$ 的长为 $c m$ ．

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19. 近年来，肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（ $B o d y$ $M a s s$ $I n d c x$ ，缩写 $B M I$ ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是
$B M I = \frac{体重（单位： k g ）}{身高^{2} （位置： m^{2} ）}$

例如：某人身高 $1.60 m$ ，体重 $60 k g$ ，则他的 $B M I = \frac{60}{1.6 0^{2}} \approx 23.4$ ．

中国成人的 $B M I$ 数值标准为： $B M I < 18.5$ 为偏瘦； $18.5 \leq B M I < 24$ 为正常； $24 \leq B M I < 28$ 为偏胖； $B M I \geq 28$ 为肥胖．

某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的 $B M I$ 值并绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息回答下列问题：

(1)、补全条形统计图；

(2)、请估计该公司 $200$ 名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；

(3)、基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高 $1.70 m$ ， $B M I$ 值为 $27$ ，他想通过健身减重使自己的 $B M I$ 值达到正常，则他的体重至少需要减掉 $k g$ ．（结果精确到 $1 k g$ ）

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20. 图①、图②、图③均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作 $△ A B C$ ，点C在格点上．

(1)、在图①中， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ ；

(2)、在图②中， $△ A B C$ 的面积为5

(3)、在图③中， $△ A B C$ 是面积为 $\frac{5}{2}$ 的钝角三角形．

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21. 甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．

(1)、当 $15 \leq x \leq 40$ 时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式；

(2)、求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．

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22.


(1)、【感知】如图①，点A、B、P均在 $⊙ O$ 上， $∠ A O B = 90 °$ ，则锐角 $∠ A P B$ 的大小为度．

(2)、【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， $⊙ O$ 是等边三角形 $A B C$ 的外接圆，点P在 $\overset{⌢}{A C}$ 上（点P不与点A、C重合），连结 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ．求证： $P B = P A + P C$ ．小明发现，延长 $P A$ 至点E，使 $A E = P C$ ，连结 $B E$ ，通过证明 $△ P B C ≌ △ E B A$ ，可推得 $P B E$ 是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长 $P A$ 至点E，使 $A E = P C$ ，连结 $B E$ ，
      $∵$ 四边形 $A B C P$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，
      $∴ ∠ B A P + ∠ B C P = 180 °$ ．
      $∵ ∠ B A P + ∠ B A E = 180 °$ ，
      $∴ ∠ B C P = ∠ B A E$ ．
      $∵ △ A B C$ 是等边三角形．
      $∴ B A = B C$ ，
      $∴ △ P B C ≌ △ E B A (S A S)$
请你补全余下的证明过程．

(3)、【应用】如图③， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A B C = 90 ° ， A B = B C$ ，点P在 $⊙ O$ 上，且点P与点B在 $A C$ 的两侧，连结 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ．若 $P B = 2 \sqrt{2} P A$ ，则 $\frac{P B}{P C}$ 的值为．

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23. 如图①．在矩形 $A B C D$ ． $A B = 3 ， A D = 5$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，且 $B E = 2$ ．动点 $P$ 从点 $E$ 出发，沿折线 $E B - B A - A D$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度运动，作 $∠ P E Q = 90 °$ ， $E Q$ 交边 $A D$ 或边 $D C$ 于点 $Q$ ，连续 $P Q$ ．当点 $Q$ 与点 $C$ 重合时，点 $P$ 停止运动．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．（ $t > 0$ ）

(1)、当点 $P$ 和点 $B$ 重合时，线段 $P Q$ 的长为；

(2)、当点 $Q$ 和点 $D$ 重合时，求 $t a n ∠ P Q E$ ；

(3)、当点 $P$ 在边 $A D$ 上运动时， $△ P Q E$ 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；

(4)、作点 $E$ 关于直线 $P Q$ 的对称点 $F$ ，连接 $P F$ 、 $Q F$ ，当四边形 $E P F Q$ 和矩形 $A B C D$ 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出 $t$ 的取值范围．

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24. 在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = - x^{2} + b x + 2$ （ $b$ 是常数）经过点 $(2 ， 2)$ ．点 $A$ 的坐标为 $(m ， 0)$ ，点 $B$ 在该抛物线上，横坐标为 $1 - m$ ．其中 $m < 0$ ．

(1)、求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；

(2)、当点 $B$ 在 $x$ 轴上时，求点 $A$ 的坐标；

(3)、该抛物线与 $x$ 轴的左交点为 $P$ ，当抛物线在点 $P$ 和点 $B$ 之间的部分（包括 $P$ 、 $B$ 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为 $2 - m$ 时，求 $m$ 的值．

(4)、当点 $B$ 在 $x$ 轴上方时，过点 $B$ 作 $B C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，连结 $A C$ 、 $B O$ ．若四边形 $A O B C$ 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形 $A O B C$ 的顶点），设这两个交点分别为点 $E$ 、点 $F$ ，线段 $B O$ 的中点为 $D$ ．当以点 $C$ 、 $E$ 、 $O$ 、 $D$ （或以点 $C$ 、 $F$ 、 $O$ 、 $D$ ）为顶点的四边形的面积是四边形 $A O B C$ 面积的一半时，直接写出所有满足条件的 $m$ 的值．

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