甘肃省兰州市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-10 类型：中考真卷

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一、单选题

1. －5的相反数是（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、5 D、-5

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2. 如图，直线 $A B$ 与 $C D$ 相交于点O，则 $∠ B O D =$ （）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

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3. 计算： $\frac{a^{2} - 5 a}{a - 5} =$ （）

A、 $a - 5$ B、 $a + 5$ C、5 D、a

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4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 $∠ 1 =$ （）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $110 °$ D、 $135 °$

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5. 方程 $\frac{2}{x + 3} = 1$ 的解是（）

A、 $x = 1$ B、 $x = - 1$ C、 $x = 5$ D、 $x = - 5$

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6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ ，圆弧的半径 $O A = 20 c m$ ，圆心角 $∠ A O B = 90 °$ ，则 $\overset{⌢}{A B} =$ （）

A、 $20 π c m$ B、 $10 π c m$ C、 $5 π c m$ D、 $2 π c m$

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7. 已知二次函数 $y = - 3 {(x - 2)}^{2} - 3$ ，下列说法正确的是（）

A、对称轴为 $x = - 2$ B、顶点坐标为 $(2 ， 3)$ C、函数的最大值是－3 D、函数的最小值是－3

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8. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $b^{2} - 2 (1 + 2 c) =$ （）

A、－2 B、2 C、－4 D、4

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9. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度 $= \frac{2022 年当月销量 - 2021 年当月销量}{2021 年当月销量} \times 100 %$ ）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）

A、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆 B、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个 C、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1% D、相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低

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10. 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在 $M O$ 的延长线及 $O N$ 上取点A，B，使 $O A = O B$ ；（3）连接 $A B$ ，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线 $a ∥ b$ ．按以上作图顺序，若 $∠ M N O = 35 °$ ，则 $∠ A O C =$ （）

A、 $35 °$ B、 $30 °$ C、 $25 °$ D、 $20 °$

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11. 一次函数 $y = k x - 1$ 的函数值y随x的增大而减小，当 $x = 2$ 时，y的值可以是（）

A、2 B、1 C、－1 D、－2

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E为 $B A$ 延长线上一点，F为 $C E$ 的中点，以B为圆心， $B F$ 长为半径的圆弧过 $A D$ 与 $C E$ 的交点G，连接 $B G$ ．若 $A B = 4$ ， $C E = 10$ ，则 $A G =$ （）

A、2 B、2.5 C、3 D、3.5

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二、填空题

13. 因式分解： $x^{2} - 25 y^{2} =$ ．

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14. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B D = C D$ ， $A E ⊥ B D$ 于点E，若 $∠ C = 70 °$ ，则 $∠ B A E =$ $°$ ．

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15. 如图，将面积为7的正方形 $O A B C$ 和面积为9的正方形 $O D E F$ 分别绕原点O顺时针旋转，使 $O A$ ， $O D$ 落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 $b - a =$ ．

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16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：

累计抛掷次数	50	100	200	300	500	1000	2000	3000	5000
盖面朝上次数	28	54	106	158	264	527	1056	1587	2850
盖面朝上频率	$0.5600$	$0.5400$	$0.5300$	$0.5267$	$0.5280$	$0.5270$	$0.5280$	$0.5290$	$0.5300$

下面有三个推断：

①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；

②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；

③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．

其中正确的是．（填序号）

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{3} \times \sqrt{6} - \sqrt{8}$ ．

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18. 计算： $(x + 2 y) (x - 2 y) - y (3 - 4 y)$ ．

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19. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x - 1 > 2 (x + 1) \\ \frac{x + 2}{3} > x - 2 \end{array}$ ．

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20. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 与一次函数 $y = - 2 x + m$ 的图象交于点 $A (- 1 ， 4)$ ， $B C ⊥ y$ 轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = - 2 x + m$ 的表达式；

(2)、当 $O D = 1$ 时，求线段 $B C$ 的长．

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21. 综合与实践

(1)、问题探究：如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在 $O A$ 和 $O B$ 上分别取点C和D，使得 $O C = O D$ ，连接 $C D$ ，以 $C D$ 为边作等边三角形 $C D E$ ，则 $O E$ 就是 $∠ A O B$ 的平分线．

请写出 $O E$ 平分 $∠ A O B$ 的依据：；

(2)、类比迁移：
小明根据以上信息研究发现： $△ C D E$ 不一定必须是等边三角形，只需 $C E = D E$ 即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在 $∠ A O B$ 的边 $O A$ ， $O B$ 上分别取 $O M = O N$ ，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线 $O C$ 是 $∠ A O B$ 的平分线，请说明此做法的理由；

(3)、拓展实践：

小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路 $A B$ 和 $A C$ ，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

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22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得 $∠ B A C = 38 °$ 、 $∠ B A D = 53 °$ ， $A B = 18 m$ ．求“龙”字雕塑 $C D$ 的高度．（B，C，D三点共线， $B D ⊥ A B$ ．结果精确到0.1m）（参考数据： $s i n 38 ° \approx 0.62$ ， $c o s 38 ° \approx 0.79$ ， $t a n 38 ° \approx 0.78$ ， $s i n 53 ° \approx 0.80$ ， $c o s 53 ° \approx 0.60$ ， $t a n 53 ° \approx 1.33$ ）

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23. 一名运动员在 $10 m$ 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面 $O B$ 的高度 $y (m)$ 与离起跳点A的水平距离 $x (m)$ 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为 $1 m$ 时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为 $3 m$ 时离水面的距离为 $7 m$ ．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、求运动员从起跳点到入水点的水平距离 $O B$ 的长．

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24. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O， $C D ∥ O E$ ，直线 $C E$ 是线段 $O D$ 的垂直平分线， $C E$ 分别交 $O D ， A D$ 于点F，G，连接 $D E$ ．

(1)、判断四边形 $O C D E$ 的形状，并说明理由；

(2)、当 $C D = 4$ 时，求 $E G$ 的长．

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25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．

信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． $x < 10$ ；B． $10 \leq x < 15$ ；C． $15 \leq x < 20$ ；D． $20 \leq x < 25$ ；E． $25 \leq x < 30$ ；F． $30 \leq x$ ）．

信息二：排球垫球成绩在D． $20 \leq x < 25$ 这一组的是：

20，20，21，21，21，22，22，23，24，24

信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：

分组	$y < 6.0$	$6.0 \leq y < 6.8$	$6.8 \leq y < 7.6$	$7.6 \leq y < 8.4$	$8.4 \leq y < 9.2$	$9.2 \leq y$
人数	2	m	10	9	6	2

信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：

学生	学生1	学生2	学生3	学生4	学生5	学生6
排球垫球	26	25	23	22	22	15
掷实心球	▲	7.8	7.8	▲	8.8	9.2

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、填空：

m =

；

(2)、下列结论正确的是；（填序号）

①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；

②掷实心球成绩的中位数记为n，则 $6.8 \leq n < 7.6$ ；

③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．

(3)、若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．

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26. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{B D}$ ， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $D E$ 交 $B F$ 于点 $F$ ，交 $A B$ 于点 $G$ ， $∠ B O D = 2 ∠ F$ ，连接 $B D$ ．

(1)、求证： $B F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、判断 $△ D G B$ 的形状，并说明理由；

(3)、当 $B D = 2$ 时，求 $F G$ 的长．

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27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义： $P$ 为图形 $M$ 上任意一点，如果点 $P$ 到直线 $E F$ 的距离等于图形 $M$ 上任意两点距离的最大值时，那么点 $P$ 称为直线 $E F$ 的“伴随点”．
例如：如图1，已知点 $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， 2)$ ， $P (2 ， 2)$ 在线段 $A B$ 上，则点 $P$ 是直线 $E F$ ： $x$ 轴的“伴随点”．

(1)、如图2，已知点 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $P$ 是线段 $A B$ 上一点，直线 $E F$ 过 $G (- 1 ， 0)$ ， $T (0 ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ 两点，当点 $P$ 是直线 $E F$ 的“伴随点”时，求点 $P$ 的坐标；

(2)、如图3， $x$ 轴上方有一等边三角形 $A B C$ ， $B C ⊥ y$ 轴，顶点 $A$ 在 $y$ 轴上且在 $B C$ 上方， $O C = \sqrt{5}$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 上一点，且点 $P$ 是直线 $E F$ ： $x$ 轴的 $“$ 伴随点 $”$ ．当点 $P$ 到 $x$ 轴的距离最小时，求等边三角形 $A B C$ 的边长；

(3)、如图4，以 $A (1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ， $C (2 ， 1)$ 为顶点的正方形 $A B C D$ 上始终存在点 $P$ ，使得点 $P$ 是直线 $E F$ ： $y = - x + b$ 的 $“$ 伴随点 $”$ ．请直接写出 $b$ 的取值范围．

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28. 综合与实践

(1)、【思考尝试】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边 $A B$ 上一点， $D F ⊥ C E$ 于点F， $G D ⊥ D F$ ， $A G ⊥ D G$ ， $A G = C F$ ．试猜想四边形 $A B C D$ 的形状，并说明理由；

(2)、【实践探究】
小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形 $A B C D$ 中，E是边 $A B$ 上一点， $D F ⊥ C E$ 于点F， $A H ⊥ C E$ 于点H， $G D ⊥ D F$ 交 $A H$ 于点G，可以用等式表示线段 $F H$ ， $A H$ ， $C F$ 的数量关系，请你思考并解答这个问题；

(3)、【拓展迁移】
小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $A B C D$ 中，E是边 $A B$ 上一点， $A H ⊥ C E$ 于点H，点M在 $C H$ 上，且 $A H = H M$ ，连接 $A M$ ， $B H$ ，可以用等式表示线段 $C M$ ， $B H$ 的数量关系，请你思考并解答这个问题．

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