湖南省张家界市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-10 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $\frac{1}{2023}$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2023}$ B、 $- \frac{1}{2023}$ C、2023 D、 $- 2023$

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2. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4$ B、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ C、 ${(2 x^{3})}^{2} = 4 x^{6}$ D、 $2 x^{2} + 3 x^{2} = 5 x^{4}$

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4. 下列说法正确的是（）

A、扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势 B、对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式 C、有一种游戏的中奖概率是 $\frac{1}{5}$ ，则做5次这样的游戏一定会有一次中奖 D、甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是 $S_{甲}^{2} = 0.2$ ， $S_{乙}^{2} = 0.03$ ，则乙比甲稳定

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5. 如图，已知直线 $A B ∥ C D$ ， $E G$ 平分 $∠ B E F$ ， $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $70 °$ B、 $50 °$ C、 $40 °$ D、 $140 °$

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6. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为 $6210$ 文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 $6210$ 文能买多少株椽？设 $6210$ 元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）．

A、 $\frac{6210}{x - 1} = 3 x$ B、 $3 (x - 1) = 6210$ C、 $3 (x - 1) = \frac{6210}{x}$ D、 $3 (x - 1) = \frac{6210}{x - 1}$

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7. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边 $△ A B C$ 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边 $△ A B C$ 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）

A、 $π$ B、 $3 π$ C、 $2 π$ D、 $2 π - \sqrt{3}$

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8. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在 $A B$ 上，且 $A D = \frac{1}{4} A B$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过点D及矩形 $O A B C$ 的对称中心M，连接 $O D ， O M ， D M$ ．若 $△ O D M$ 的面积为3，则k的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

9. “仙境张家界，峰迷全世界”，据统计，2023年“五一”节假日期间，张家界市各大景区共接待游客约864000人次．将数据864000用科学记数法表示为．

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10. 因式分解： $x^{2} y + 2 x y + y$ = ．

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11. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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12. 2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔8名选手参加总决赛，他们的决赛成绩分别是95，92，93，89，94，90，96，88．则这8名选手决赛成绩的中位数是．

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13. 如图， $A O$ 为 $∠ B A C$ 的平分线，且 $∠ B A C = 50 °$ ，将四边形 $A B O C$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转后，得到四边形 $A B^{'} O^{'} C^{'}$ ，且 $∠ O A C^{'} = 100 °$ ，则四边形 $A B O C$ 旋转的角度是．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A B O C$ 是正方形，点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 1)$ ， $\overset{⌢}{A A_{1}}$ 是以点 $B$ 为圆心， $B A$ 为半径的圆弧； $\overset{⌢}{A_{1} A_{2}}$ 是以点 $O$ 为圆心， $O A_{1}$ 为半径的圆弧， $\overset{⌢}{A_{2} A_{3}}$ 是以点 $C$ 为圆心， $C A_{2}$ 为半径的圆弧， $\overset{⌢}{A_{3} A_{4}}$ 是以点 $A$ 为圆心， $A A_{3}$ 为半径的圆弧，继续以点 $B$ ， $O$ ， $C$ ， $A$ 为圆心按上述作法得到的曲线 $A A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} ⋯$ 称为正方形的“渐开线”，则点 $A_{2023}$ 的坐标是．

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三、解答题

15. 计算： $| - \sqrt{3} | - (4 - π)^{0} - 2 s i n 60 ° + {(\frac{1}{5})}^{- 1}$ ．

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16. 先化简 $(x - 1 - \frac{3}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，然后从 $- 1$ ， 1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．

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17. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：

甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300

(1)、参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？

(2)、若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？

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18. 如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且 $A D = B C$ ， $A E = B F$ ， $C E = D F$ ．

(1)、求证： $A E ∥ B F$ ；

(2)、若 $D F = F C$ 时，求证：四边形 $D E C F$ 是菱形．

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19. 2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A： $x < 70$ ；B： $70 \leq x < 80$ ；C： $80 \leq x < 90$ ；D： $x \geq 90$ ，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次抽取的学生人数为人，扇形统计图中m的值为；

(2)、补全条形统计图；

(3)、已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？

(4)、若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．

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20. “游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼 $A B$ 的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为 $15 °$ ，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为 $45 °$ ，求奇楼 $A B$ 的高度．（结果精确到1m，参考数据： $s i n 15 ° \approx 0.26$ ， $c o s 15 ° \approx 0.97$ ， $t a n 15 ° \approx 0.27$ ）

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21. 阅读下面材料：
将边长分别为a， $a + \sqrt{b}$ ， $a + 2 \sqrt{b}$ ， $a + 3 \sqrt{b}$ 的正方形面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ．

则 $S_{2} - S_{1} = (a + \sqrt{b})^{2} - a^{2}$

      $= [(a + \sqrt{b}) + a] \cdot [(a + \sqrt{b}) - a]$

      $= (2 a + \sqrt{b}) \cdot \sqrt{b}$

      $= b + 2 a \sqrt{b}$

例如：当 $a = 1$ ， $b = 3$ 时， $S_{2} - S_{1} = 3 + 2 \sqrt{3}$

根据以上材料解答下列问题：

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 3$ 时， $S_{3} - S_{2} =$ ， $S_{4} - S_{3} =$ ；

(2)、当 $a = 1$ ， $b = 3$ 时，把边长为 $a + n \sqrt{b}$ 的正方形面积记作 $S_{n + 1}$ ，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出 $S_{n + 1} - S_{n}$ 等于多少吗？并证明你的猜想；

(3)、当 $a = 1$ ， $b = 3$ 时，令 $t_{1} = S_{2} - S_{1}$ ， $t_{2} = S_{3} - S_{2}$ ， $t_{3} = S_{4} - S_{3}$ ， …， $t_{n} = S_{n + 1} - S_{n}$ ，且 $T = t_{1} + t_{2} + t_{3} + ⋯ + t_{50}$ ，求T的值．

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22. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $F$ 是 $A D$ 延长线上一点，连接 $C D ， C F$ ，且 $∠ D C F = ∠ C A D$ .

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若直径 $A D = 10 ， c o s B = \frac{3}{5}$ ，求 $F D$ 的长.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (6 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 6)$ ．点D为线段 $B C$ 上的一动点．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图1，求 $△ A O D$ 周长的最小值；

(3)、如图2，过动点D作 $D P ∥ A C$ 交抛物线第一象限部分于点P，连接 $P A ， P B$ ，记 $△ P A D$ 与 $△ P B D$ 的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

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	甲型客车	乙型客车
载客量（人/辆）	45	60
租金（元/辆）	200	300