江西省景德镇市珠山区景德镇二中2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-07-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $- \frac{1}{2} a > - \frac{1}{2} b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a - b < 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $a - b > 0$ D、 $a + b < 0$

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3. 下列命题的逆命题是真命题的是（）

A、对顶角相等 B、有两边相等的三角形是等腰三角形 C、等边三角形是锐角三角形 D、全等三角形的对应角相等

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4. 如图， $A E ， B E ， C E$ 分别平分 $∠ B A C ， ∠ A B C ， ∠ A C B$ ， $E D ⊥ B C$ 于点D， $E D = 3$ ， $△ A B C$ 的面积为36，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、48 B、36 C、24 D、12

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $A B = 8$ ，将 $R t △ A B C$ 绕点C顺时针旋转得到 $R t △ A_{1} B_{1} C$ ，当 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $A$ 三点共线时， $A A_{1}$ 的值为（）

A、 $12$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、 $8 + 4 \sqrt{3}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $A M$ 为 $△ A B C$ 的角平分线， $D$ 为 $A B$ 的中点， $A M$ 与 $C D$ 相交于点 $P$ ，过点 $D$ 作 $D E$ 垂直 $A M$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E N ∥ A C$ 交 $A B$ 于点 $N$ ，有下列说法：① $∠ 1 + ∠ 2 > 90 °$ ． ② $∠ A D E = ∠ E D C + ∠ A C D$ ， ③ $N$ 为 $A D$ 的中点，④ $S_{△ B P C} = S_{△ A P C}$ ．其中，正确的是（　　）

A、①③ B、①②③ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题

7. 不等式 $- x - 1 > 0$ 的解集是．

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8. 已知点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 3)$ ，将点 $A$ 向下平移 $2$ 个单位长度，再向右平移 $3$ 个单位长度得到点 $A_{1}$ ，则点 $A_{1}$ 的坐标为．

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9. 等腰三角形的两边长分别是3cm、7cm，则它的周长为cm．

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 52 °$ ，将 $R t △ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转，使点 $C$ 落在斜边 $A B$ 上的点 $D$ 处，连接 $E A$ ，则 $∠ A E D$ =°.

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11. 在方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 2 - 3 m \\ x + 2 y = 2 + m \end{array}$ 中，若未知数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y < 0$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘} ， ∠ A B C = 28 °$ ， $O$ 为斜边中点，将 $O A$ 绕着点 $O$ 逆时针旋转 $θ （ 0^{∘} < θ < 18 0^{∘}$ ）至 $O P$ ，当 $△ B C P$ 为等腰三角形时， $θ$ 的值为．

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三、解答题

13.

(1)、已知 $(m + 2) x^{| m + 3 |} - 1 > 2$ 是关于x的一元一次不等式，求m的值．

(2)、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D是 $A B$ 的中点，E是边 $A C$ 上一点，连接 $B E$ ， $D E$ ，且 $D E ⊥ A B$ ．若 $∠ A = 46 °$ ，求 $∠ C B E$ 的度数．

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14. 解不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{2 x + 1}{3} \geq \frac{3 x - 1}{2} ， \\ x - 5 \leq 1 + 4 x ， \end{array}$ 并把解集表示在数轴上．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 1 ： 5 ： 6$ ，且 $B C = 1$ ，求 $A C$ 的长．

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16. 如图，在由边长为 $1$ 的小正方形构成的网格中，三角形 $A B C$ 的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）

(1)、在图1中，画出 $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ．

(2)、在图2中，画出 $∠ B A C$ 的平分线 $A E$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．

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17. 如图，把 $R t △ A B C$ 放在平面直角坐标系内，其中 $∠ C A B = 90 °$ ， $B C = 5$ ，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(1 ， 0)$ ， $(4 ， 0)$ ．

(1)、请求出点 $C$ 的坐标．

(2)、将 $△ A B C$ 沿 $x$ 轴向左平移，当点 $C$ 落在直线 $y = 2 x + 9$ 上时，求线段 $B C$ 扫过的面积．

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18. 如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点成中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、画出 $△ A B C$ 绕点C逆时针旋转 $90 °$ 得到的 $△ A_{2} B_{2} C$ ．

(3)、在x轴上是否存在一点P，使得 $△ A B P$ 的周长最小？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E$ 是 $B C$ 边上一点， $A D$ 垂直平分 $B E$ ， $C D = A B + B D$ ．

(1)、求证： $△ A C E$ 为等腰三角形．

(2)、若 $C E = 2 D E$ ，则线段 $A D$ ， $B C$ ， $A B$ 满足什么数量关系？并说明理由，

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 的延长线上， $∠ A C B = 106 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B E$ 与外角 $∠ C A F$ 的平分线 $A D$ 交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E H ⊥ B D$ ，垂足为 $H$ ．

(1)、求 $∠ A E B$ 的度数．

(2)、若 $∠ C E H = ∠ A E B$ ， $A B + B D = 16$ ， $A C = 6$ ，且 $S_{△ A C E} = 12$ ，求 $△ A B D$ 的面积．

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21. 为促进学生德智体美劳全面发展，推动文化学习与体育锻炼协调发展，某校举办了学生趣味运动会．该校计划用不超过 $5900$ 元购买足球和篮球共 $36$ 个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球单价 $170$ 元，篮球单价 $160$ 元．

(1)、学校至多可购买多少个足球？

(2)、受卡塔尔世界杯的影响，学校商议决定按(1)问的结果购买足球作为一等奖奖品，以鼓励更多学生热爱足球，同时商场也对足球和篮球的价格进行调整，足球单价下降了 $a %$ ，篮球单价上涨了 $\frac{1}{2} a %$ ，最终学校购买奖品的经费比计划经费的最大值节省了 $155$ 元，求 $a$ 的值．

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22. 阅读材料并完成相应的任务．
小逸在趣味数学书上看到这样一道题：已知 $- x + y = 3$ ，且 $x \leq 3$ ， $y \geq 0$ ，设 $a = x + y - 3$ ，那么 $a$ 的取值范围是什么？

【回顾】

小逸回顾做过的一道简单的类似题目：

已知 $- 1 < x < 3$ ，设 $y = x - 1$ ，那么 $y$ 的取值范围是 ① ．

【探究】

小逸想：可以将趣味数学书上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目．

由 $- x + y = 3$ 得 $y = x + 3$ ，则 $a = x + y - 3 = x + x + 3 - 3 = 2 x$ ，

由 $x \leq 3$ ， $y \geq 0$ ，得关于 $x$ 的一元一次不等式组 ② ，

解该不等式组得到 $x$ 的取值范围为 ③ ，

则 $a$ 的取值范围是 ④ ．

(1)、任务一：补充材料中的信息．
①：；②：；③：；④：．

(2)、任务二：（ⅰ）已知 $x - y = 2$ ，且 $x > 1$ ， $y \leq 3$ ，设 $k = x + y$ ，求 $k$ 的取值范围．
（ⅱ）若 $2 x = 8 y + 16 = 4 z$ ，且 $x > 0$ ， $y \geq - 1$ ， $z < 8$ ，设 $b = y + z - x$ ，且 $b$ 为整数，求 $b$ 所有可能的值的和．

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23.
（1）如图1，在 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C$ ，点D，E在BC边上且不与点B，C重合， $∠ D A E = 45 °$ ，猜想 $B D$ ， $D E$ ， $C E$ 之间的数量关系并说明理由．

(1)、如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 ° ， A B = A C$ ，点D，E在 $B C$ 边上且不与点B，C重合 $∠ D A E = 60 °$ ， $∠ A D E = 45 °$ ，探究 $B D$ ， $D E$ ， $C E$ 之间的数量关系，并证明你的结论

(2)、如图3，在等边 $△ A B C$ 中，D为 $△ A B C$ 内的一点， $∠ A D B = 120 ° ， ∠ A D C = 90 °$ ，将 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得 $△ A C E$ ，连接 $D E$ ．若 $B D = 2$ ，求 $A D$ ， $C D$ 的长．

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