江西省赣州市经开区2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-07-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列二次根式中，最简二次根式是（）．

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\frac{1}{\sqrt{2}}$

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2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A、 $2 ， 3 ， 4$ B、 $4 ， 5 ， 6$ C、 $7 ， 8 ， 9$ D、 $6 ， 8 ， 10$

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3. 平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，则它的周长是（）

A、8 B、13 C、14 D、16

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4. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对角线互相平分

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5. 如图，以Rt△ABC（AC⊥BC）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S₁﹑S₂﹑S₃ ，若S₁＋S₂＋S₃＝12，则S₁的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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6. 如图，在四边形 $A B D E$ 中， $A B ∥ D E$ ， $A B ⊥ B D$ ，点C是边 $B D$ 上一点， $B C = D E = a$ ， $C D = A B = b$ ． $A C = C E = c$ ．下列结论；① $△ A B C ≌ △ C D E$ ；② $∠ A C E = 90 °$ ；③四边形 $A B D E$ 的面积是 $\frac{1}{2} (a^{2} + b^{2})$ ；④ $\frac{1}{2} (a^{2} + b^{2}) - \frac{1}{2} c^{2} = 2 \times \frac{1}{2} a b$ ；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　）

A、5 B、4 C、3 D、2

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二、填空题

7. 二次根式 $\sqrt{2 - x}$ 中， $x$ 的取值范围是.

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8. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 120 °$ ，则 $∠ B =$ 度．

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9. 如果两个最简二次根式 $\sqrt{3 a - 1}$ 与 $\sqrt{2 a + 3}$ 能合并，那么 $a =$ ．

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10. 如图，点P（－2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为.

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11.
如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．

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12. 如图，等腰三角形纸片ABC中，AD⊥BC与点D，BC=2，AD= $\sqrt{3}$ ，沿AD剪成两个三角形.用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形中较长对角线的长为.

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三、解答题

13.

(1)、计算： $\sqrt{3} \times \sqrt{15} - \sqrt{20}$ ；

(2)、计算： $(\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2})$ ．

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14. 已知 $a = 2 + \sqrt{3}$ ， $b = 2 - \sqrt{3}$ ，求 $a^{2} + b^{2} - 2 a b$ 的值．

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15. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．

(1)、判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)、求△ABC的面积及AC边上的高．

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16. 如图，在 $10 \times 6$ 的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点，已知A，B两点是格点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．

(1)、如图1，以线段 $A B$ 为边长作周长为16的矩形 $A B C D$ ；

(2)、如图2，以线段 $A B$ 为对角线作一个面积为6的格点平行四边形．

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17. 如图，已知在 $▱ A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $C F$ 平分 $∠ B C D$ ，分别交 $C D$ 、 $A B$ 于点 $E$ 、 $F$ ，求证：四边形 $A F C E$ 为平行四边形．

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18. 如图所示， $A B$ 为一棵大树，在树上距地面 $10 m$ 的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳 $A C$ ，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B处，再由B处跑到C处．已知两只猴子所经过的路程都是 $15 m$ ，求树高 $A B$ 的距离．

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19. 如图，已知四边形ABCD，其中 $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ， AB=4，CD=2，求四边形ABCD的面积.

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20. 如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE、EC、BD、DE交BC于点O．

(1)、求证：△ABD≌△BEC；

(2)、若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

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21. 如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．

(1)、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ $= 2 \sqrt{5}$ ， $B C = 4$ ，求证： $△ A B C$ 是“美丽三角形”；

(2)、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C$ $= 4 \sqrt{3}$ ，若 $△ A B C$ 是“美丽三角形”，求 $B C$ 的长．

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22. 阅读材料并解决问题： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{{(\sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，像上述解题过程中， $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ 相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}} =$ ， $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} =$ ；若n为正整数，请你猜想 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} =$ ．

(2)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}}) \times (\sqrt{2022} + 1)$ ；

(3)、计算： $(\frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{2}{\sqrt{2024} + \sqrt{2022}}) \times (\sqrt{2024} + 1)$ ．

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23. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A D = 16 cm$ ， $A B = 12 cm$ ， $B C = 21 cm$ ，动点P从点B出发，沿射线 $B C$ 的方向以每秒 $2 cm$ 的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段 $A D$ 上以每秒 $1 cm$ 的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）.

(1)、求 $D Q$ 、 $P C$ 的代数表达式；

(2)、当t为何值时，四边形 $P Q D C$ 是平行四边形；

(3)、当 $0 < t < 10 ． 5$ 时，是否存在点P，使 $△ P Q D$ 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由.

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