（人教版）2023-2024学年七年级数学上册1.5 有理数的乘方同步分层训练（培优卷）

试卷更新日期：2023-07-10 类型：同步测试

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一、选择题

1. 求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2018}$ 的值，可令 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2018}$ ，则 $2 S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2019}$ ，因此 $2 S - S = 2^{2019} - 1$ ，仿照以上推理，计算出 $1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + \dots + 5^{2018}$ 的值为（）

A、 $5^{2018} - 1$ B、 $5^{2019} - 1$ C、 $\frac{5^{2019} - 1}{4}$ D、 $\frac{5^{2018} - 1}{4}$

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2. 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：1×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰=11．按此方式，则将十进制数7换算成二进制数应为（）

A、101 B、110 C、111 D、1101

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3. 计算（﹣2）¹⁰⁰+（﹣2）¹⁰¹所得的结果是（）

A、2¹⁰⁰ B、﹣1 C、﹣2 D、﹣2¹⁰⁰

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4. 已知 $a = 4 \times 10^{6} - {(- 2016)}^{2} ， b = {(- 40)}^{2} - 1016$ ， $c = 666^{2} - 666 \times 665$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是(　　)

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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5. 一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{3}$ 米 B、 ${(\frac{1}{2})}^{5}$ 米 C、 ${(\frac{1}{2})}^{6}$ 米 D、 ${(\frac{1}{2})}^{12}$ 米

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6. 计算 $\underset{100 个}{\underset{︸}{111 \cdot \cdot \cdot 11}} - \underset{50 个}{\underset{︸}{222 \cdot \cdot \cdot 22}}$ 其结果用幂的形式可表示为（）

A、 $\underset{50 个}{\underset{︸}{333 \cdot \cdot \cdot 33^{2}}}$ B、 $\underset{60 个}{\underset{︸}{333 \cdot \cdot \cdot 33^{2}}}$ C、 $\underset{70 个}{\underset{︸}{333 \cdot \cdot \cdot 33^{2}}}$ D、 $\underset{80 个}{\underset{︸}{333 \cdot \cdot \cdot 33^{2}}}$

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7. 据报道，2015年全国普通高考报考人数约为9 420 000人，数据9 420 000用科学记数法表示为9.42×10ⁿ ，则n的值是（　　）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 衢州市“十二五”规划纲要指出，力争到2015年，全市农民人均年纯收入超13000元，数13000用科学记数法可以表示为（　　）

A、13×10³ B、1.3×10⁴ C、0.13×10⁴ D、130×10²

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9. 下列说法正确的是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是分数 B、16的平方根是±4，即 $\sqrt{16} = \pm 4$ C、8.30万精确到百分位 D、若 $\sqrt{a - 2022} + | b + 1 | = 0$ ，则 $b^{a} = 1$

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10. 下列说法：①平方等于64的数是8；②若a．b互为相反数，则 $\frac{b}{a} = - 1$ ；③若|-a|=a，则（-a）³的值为负数；④若ab≠0，则 $\frac{a}{| a |} + \frac{b}{| b |}$ 的取值在0，1，2，-2这四个数中，不可取的值是0．正确的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题

11. 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第10次后拉出根细面条．

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12. 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101) ，(1011) 换算成十进制数为：

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13. 如果有4个不同的正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 满足 $(2019 - a) (2019 - b) (2019 - c) (2019 - d) = 8$ ，那么 $a + b + c + d$ 的最大值为.

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14. 某企业每月生产一次性口罩280000个，这个数用科学记数法可表示为.

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15. 10位裁判给一位运动员打分,每个人给的分数都是整数,去掉一个最高分,再去掉一个最低分,其余得分的平均数为该运动员的得分。若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位,该运动员得9.4分,如果精确到百分位,该运动员得分应当是分.

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三、解答题

16. 【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2^③ ，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）^④ ，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把 $\underset{n 个 a}{\underset{︸}{a \div a \div a \div \dots \div a}}$ （a≠0）记作a^ⓝ ，读作“a的圈 n次方”．

(1)、【初步探究】
Ⅰ.直接写出计算结果：2^③= ▲ ，（﹣ $\frac{1}{2}$ ）^⑤= ▲ ；
Ⅱ.关于除方，下列说法错误的是 ▲
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1^ⓝ=1；
C.3^④=4^③；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．

(2)、【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（﹣3）^④= ▲ ； 5^⑥= ▲ ；（﹣ $\frac{1}{2}$ ）^⑩= ▲ ．
Ⅱ.想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ▲ ；
Ⅲ.算一算：12²÷（﹣ $\frac{1}{3}$ ）^④×（﹣2）^⑤﹣（﹣ $\frac{1}{3}$ ）^⑥÷3³ ．

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17. 古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的感谢，国王答应满足大臣一个要求. 大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放1粒米，第二格放2粒米，第三格放4粒米，然后是 8 粒米，16 粒米，…… 直到第64格。” “你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大笑，大臣说： “就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第64格中能放多少米吗? 请你帮忙计算出来.

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18. 观察：1+2=3=2²-1，1+2+2²=7=2³-1，1+2+2²+2³=15=2⁴-1，….又2³²约为4.3×10⁹ ，则1+2+2²+2³+…+2³¹约为多少?用科学记数法表示为a×10ⁿ的形式，并判断它是几位数.(a的值精确到0.1)

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19. 已知代数式：①4^β+1 ， ② $\frac{2}{4^{α}}$ ， ③﹣2，④0，又设k=2ⁿ且α，β，n为整数，
（1）讨论n的正负性，判断①、②、③、④这4个代数式中与k相等的可能性？
（2）进一步说明4^β+1与 $\frac{2}{4^{α}}$ 两个代数式相等的可能性．

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四、综合题

20. 先阅读下列材料，然后解答问题.
探究：用的幂的形式表示a^m•a^_n的结果（m、为正整数）.

分析：根据乘方的意义，a^m•aⁿ= $\overset{m 个}{\overset{︷}{a \cdot a \cdot a \cdot ⋯ \cdot a}} \cdot \overset{n 个}{\overset{︷}{a \cdot a \cdot a \cdot ⋯ \cdot a}} = \overset{(m + n) 个}{\overset{︷}{a \cdot a \cdot a \cdot ⋯ \cdot a}}$ =a^m+n.

(1)、请根据以上结论填空：3⁶×3⁸= ，5²×5³×5⁷= ，（a+b）³•（a+b）⁵= ；

(2)、仿照以上的分析过程，用的幂的形式表示（a^m）ⁿ的结果（提示：将a^m看成一个整体）.

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21. 找规律并计算：

(1)、计算： $2^{2} - 1^{2}$ = ， $(2 + 1) (2 - 1)$ =；
$5^{2} - 2^{2}$ = ， $(5 + 2) (5 - 2)$ =；

(2)、猜想：观察上述式子可猜想出的结论是： $x^{2} - y^{2}$ =；

(3)、试用你所猜想的结论计算：
$2022^{2} - 2021^{2} + 2020^{2} - 2019^{2} +$ …… $+ 4^{2} - 3^{2} + 2^{2} - 1^{2}$ .

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22. 规定：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如 $2 \div 2 \div 2$ ， $(- 3) ÷ (- 3) ÷ (- 3) ÷ (- 3)$ ．
类比有理数的乘方，我们把 $2 \div 2 \div 2$ 记作 $2^{★ 3 ★}$ ，读作“2的星3次方”；把 $(- 3) ÷ (- 3) ÷ (- 3) ÷ (- 3)$ 记作 $(- 3)^{★ 4 ★}$ ，读作“ $- 3$ 的星4次方”．
一般地，把 $\underset{n 个 a}{\underset{︸}{a \div a \div \dots \dots \div a}}$ 记作 $a^{★ n ★}$ （其中， $a \neq 0$ ， $n ⩾ 3$ ， $n$ 为整数），读作“ $a$ 的星 $n$ 次方”．

(1)、直接写出计算结果： $2^{★ 3 ★} =$ ， $(- 3)^{★ 4 ★} =$ ， $(- \frac{1}{4})^{★ 5 ★} =$ ；

(2)、结合（1）中的运算，尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，可以归纳如下：
一个非零有理数的星 $n (n \geq 3$ ， $n$ 为整数）次方等于（从以下四个选项中选择最合适的一个，填写序号即可）．
①这个数的相反数的 $(n - 2)$ 次方；
②这个数的绝对值的 $(n - 2)$ 次方；
③这个数的倒数的 $(n - 2)$ 次方；
④这个数的 $(n - 2)$ 次方．

(3)、关于“除方”运算，下列说法错误的是____ ；

A、任何非零有理数的星3次方都等于它的倒数； B、对于任何不小于3正整数 $n$ ， $1^{★ n ★} = 1$ ； C、 $4^{★ 5 ★} = 5^{★ 4 ★}$ ； D、负数的星5次方的结果是负数，负数的星6次方的结果是正数．

(4)、结合上述探究结果，计算下式的值．
$2 \times (- \frac{1}{2})^{★ 5 ★} - (- 3)^{★ 3 ★} \div \frac{1}{3}$ ．

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23. 已知10×10²＝1000＝10³ ，
10²×10²＝10000＝10⁴ ，

10²×10³＝100000＝10⁵.

(1)、猜想10⁶×10⁴＝， 10^m×10ⁿ＝.（m，n均为正整数）

(2)、运用上述猜想计算下列式子：
①（1.5×10⁴）×（1.2×10⁵）；

②（﹣6.4×10³）×（2×10⁶）.

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二、填空题

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四、综合题

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