浙江省2023年中考数学真题分类汇编07 四边形

试卷更新日期：2023-07-09 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．若 $∠ A O B = 60 °$ ，则 $\frac{A B}{B C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（ $△ D A E ， △ A B F ， △ B C G ， △ C D H$ ）和中间一个小正方形 $E F G H$ 拼成的大正方形 $A B C D$ 中， $∠ A B F > ∠ B A F$ ，连接 $B E$ ．设 $∠ B A F = α ， ∠ B E F = β$ ，若正方形 $E F G H$ 与正方形 $A B C D$ 的面积之比为 $1 ： n ， t a n α = t a n^{2} β$ ，则 $n =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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3. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点 $E$ 作 $E H ⊥ A B$ 于点 $H$ .当 $A B = B C ， ∠ B O C =$ $3 0^{°} ， D E = 2$ 时，EH的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4. 如图， $⊙ O$ 的圆心O与正方形的中心重合，已知 $⊙ O$ 的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2}$

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5. 如图，以钝角三角形ABC最长边BC为边向外作矩形 $B C D E$ ，连结 $A E ， A D$ ，设 $△ A E D$ ， $△ A B E$ ， $△ A C D$ 的面积分别为 $S ， S_{1} ， S_{2}$ ，若要求出 $S - S_{1} - S_{2}$ 的值，只需知道（）

A、 $△ A B E$ 的面积 B、 $△ A C D$ 的面积 C、 $△ A B C$ 的面积 D、矩形 $B C D E$ 的面积

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6. 如图，已知矩形纸片ABCD，其中 $A B = 3 ， B C = 4$ ，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；

第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；

第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．
则DH的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{9}{5}$

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7. 如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，则AC的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $O$ 为对角线 $B D$ 的中点， $∠ A B D = 6 0^{°}$ .动点 $E$ 在线段 $O B$ 上，动点 $F$ 在线段 $O D$ 上，点 $E ， F$ 同时从点 $O$ 出发，分别向终点 $B ， D$ 运动，且始终保持 $O E = O F$ .点 $E$ 关于 $A D ， A B$ 的对称点为 $E_{1} ， E_{2}$ ；点 $F$ 关于 $B C ， C D$ 的对称点为 $F_{1} ， F_{2}$ .在整个过程中，四边形 $E_{1} E_{2} F_{1} F_{2}$ 形状的变化依次是（）

A、菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B、菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C、平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D、平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形

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二、填空题

9. 如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点.若CD=4cm，则该工件内槽宽AB的长为cm.

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10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 4 0^{°}$ ，连结 $A C$ ，以点 $A$ 为圆心， $A C$ 长为半径作弧，交直线 $A D$ 于点 $E$ ，连结 $C E$ ，则 $∠ A E C$ 的度数是.

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11. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k$ 为大于0的常数， $x > 0$ ）图象上的两点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，满足 $x_{2} = 2 x_{1} . △ A B C$ 的边 $A C / / x$ 轴，边 $B C / / y$ 轴，若 $△ O A B$ 的面积为6，则 $△ A B C$ 的面积是.

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12. 如图，矩形ABCD中， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ．在边AD上取一点E，使 $B E = B C$ ，过点C作 $C F ⊥ B E$ ，垂足为点F，则BF的长为．

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13. 如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m>n且满足am-bn=2．an+bm=4．

(1)、若a=3，b=4，则图1阴影部分的面积是；

(2)、若图1阴影部分的面积为3．图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是。

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一个图形上的点都在一边平行于 $x$ 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数 $y =$ $(x - 2)^{2} (0 ⩽ x ⩽ 3)$ 的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形 $O A B C$ .若二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} + b x + c (0 ⩽ x ⩽ 3)$ 图象的关联矩形恰好也是矩形 $O A B C$ ，则 $b =$ .

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三、解答题

15. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E ， F$ 在对角线 $B D$ 上，且 $B E = E F = F D$ ，连接 $A E ， E C$ ， $C F ， F A$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形．

(2)、若 $△ A B E$ 的面积等于2，求 $△ C F O$ 的面积．

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16. 在边长为 $1$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A D$ 上（不与点 $A$ ， $D$ 重合），射线 $B E$ 与射线 $C D$ 交于点 $F$ ．

(1)、若 $E D = \frac{1}{3}$ ，求 $D F$ 的长．

(2)、求证： $A E \cdot C F = 1$ ．

(3)、以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画弧，交线段 $B E$ 于点 $G$ ．若 $E G = E D$ ，求 $E D$ 的长．

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17. 如图，已知矩形ABCD，点 $E$ 在CB延长线上，点 $F$ 在BC延长线上，过点 $F$ 作 $F H ⊥ E F$ 交ED的延长线于点 $H$ ，连结AF交EH于点 $G ， G E = G H$ .

(1)、求证： $B E = C F$ .

(2)、当 $\frac{A B}{F H} = \frac{5}{6} ， A D = 4$ 时，求EF的长.

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $G$ 是对角线 $B D$ 上的一点（与点 $B ， D$ 不重合）， $G E ⊥ C D ， G F ⊥ Β C ，$ $E ， F$ 分别为垂足.连结 $E F ， A G$ ，并延长 $A G$ 交 $E F$ 于点 $H$ .

(1)、求证： $∠ D A G = ∠ E G H$ .

(2)、判断 $A H$ 与 $E F$ 是否垂直，并说明理由.

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19. 如图，四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ A = ∠ C$ ， BD为对角线．

(1)、证明：四边形ABCD是平行四边形．

(2)、已知 $A D > A B$ ，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．

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20. 定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

(1)、如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， ∠ A = 90 °$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A D C$ ．求证：四边形 $A B C D$ 为邻等四边形．

(2)、如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形 $A B C D$ 是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．

(3)、如图3，四边形 $A B C D$ 是邻等四边形， $∠ D A B = ∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B C D$ 为邻等角，连接 $A C$ ，过B作 $B E ∥ A C$ 交 $D A$ 的延长线于点E．若 $A C = 8 ， D E = 10$ ，求四边形 $E B C D$ 的周长．

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21. 如图，在菱形ABCD中， $A E ⊥ B C$ 于点E， $A F ⊥ C D$ 于点F，连结EF。

(1)、求证： $A E = A F$ ；

(2)、若 $∠ B = 60 °$ ，求 $∠ A E F$ 的度数。

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22. 如图，点 $A$ 在第一象限内， $⊙ A$ 与 $x$ 轴相切于点 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点C，D.连结AB，过点 $A$ 作 $A H ⊥ C D$ 于点 $H$ .

(1)、求证：四边形 $A B O H$ 为矩形.

(2)、已知 $⊙ A$ 的半径为 $4 ， O B = \sqrt{7}$ ，求弦 $C D$ 的长.

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23. 在平行四边形 $A B C D$ 中（顶点 $A ， B ， C ， D$ 按逆时针方向排列） $A B = 12 ， A D = 10$ ， ∠ $B$ 为锐角，且 $s i n B = \frac{4}{5}$ .

(1)、如图1，求 $A B$ 边上的高 $C H$ 的长.

(2)、 $P$ 是边 $A B$ 上的一动点，点 $C ， D$ 同时绕点 $P$ 按逆时针方向旋转 $9 0^{°}$ 得点 $C^{^{'}} ， D^{^{'}}$ .
①如图2，当点 $C^{^{'}}$ 落在射线 $C A$ 上时，求 $B P$ 的长.

②当 $Δ A C^{^{'}} D^{^{'}}$ 当是直角三角形时，求 $B P$ 的长.

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24. 已知，AB是半径为1的 $⊙ O$ 的弦， $⊙ O$ 的另一条弦CD满足 $C D = A B$ ，且 $C D ⊥ A B$ 于点H（其中点H在圆内，且 $A H > B H ， C H > D H$ ）．

(1)、在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）．

(2)、连结AD，猜想，当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD的长度，

(3)、如图2，延长AH至点F，使得 $H F = A H$ ，连结CF， $∠ H C F$ 的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM，若 $P D = \frac{1}{2} A D$ ．求证： $M H ⊥ C P$ ．

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25. 问题：如何设计“倍力桥”的结构？

图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁 $b$ ，使得横梁不能移动，结构稳固.

图2是长为 $l (c m)$ ，宽为 $3 c m$ 的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为 $1 c m$ 的半圆.圆心分别为 $O_{1} ， O_{2} ， O_{3} ， O_{1} M = O_{1} N ， O_{2} Q = O_{3} P$ $= 2 c m$ ，纵梁是底面半径为 $1 c m$ 的圆柱体.用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计.

探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H₁ ， H₂是横梁侧面两边的交点.测得AB=32cm，点C到AB的距离为12cm.试判断四边形CDEH₁的形状，并求 $l$ 的值.

探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.

①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形 $H_{1} H_{2} H_{3} … H_{12}$ ，求 $l$ 的值；

②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形 $H_{1} H_{2} H_{3} … H_{n}$ 的周长.

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